* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 379' пусть Л, будет точка пересечения. Теперь Ангармоническое отношение четырех точку A спроектируем на плоскость Q из коллинеарных точек есть инвариант центра 0\ т.-е. проведем прямую (УА , всякого проективного преобразования. которая в пересечении с плоскостью Q даст Но именно то обстоятельство, что в груп­ требуемую проекцию А'. Таким образом, пе всех проективных преобразований две «сходя из точки А на плоскости Q, мы точки не имеют инварианта, а таковой име­ построим на той же плоскости другую ют только четыре точки, лишает нас воз­ точку А', которую и примем за соответ­ можности положить всю группу проектив­ ствующую первой. Так как теперь каждой ных преобразований в основу геометричеточке А плоскости Q будет отнесена соответствующая точка Л' (иногда, правда, бесконечно удаленная), то этим установлено некоторое пре­ образование плоскости Q. Этого рода преобразование, как легко се<бе уяснить, относит точкам ABC прямой точки А'В*С другой прям ей я представляв г собою коллинеацию. Это — одно из простейших проек­ тивных преобразований; но из них .составляются все вообще проектив­ ные преобразования плоскости. Не останавливаясь здесь на этом .подробнее, заметим только, что су­ ществует бесчисленное множество весьма разнообразных преобразо­ ваний плоскости, преобразующих прямые в прямые же. Эти преобра­ зования, как уже сказано выше, на­ зывают коллинеациями, или проек­ тивными преобразованиями. Вся со­ вокупность проективных преобра­ зований плоскости образует группу. Относительно всей группы проек­ тивных преобразований одна, две яла три точки инварианта не имеют; но четыре точки, расположенные на одной прямой, имеют заме­ чательный инвариант, именуемый s в сложным, или ангармоническим отношением этих четырех точек. •Пусть Л, В, С, D будут четы­ ре точки, расположенные на одной пря­ мой, АС:ВС есть отношение, в котором точка С делит отрезок АВ; точно так же AD:BD есть отноление, в котором тот же отрезок делится точкой D. Частное от деления первого из этих отношений на второе называется ангармоническим отно­ шением этих четырех точек, в этом порядке взятых, и обозначается симво­ лом (ABCD). Итак: Рис. 22. < ABCD >=gb--m 'ВС-AD AC-BP Значение ангармонического отношения -четырех коллинеарных точек изменяется с изменением порядка точек. Если, напри­ мер, ангармоническое отношение (1) обо­ значим через I, то ской системы, т.-е. лишает нас возможности принять ее за группу движений. Но, как чрезвычайно удачно указал Клейн, эта воз­ можность восстанавливается, если ограни­ читься целесообразно выбранною частью этой группы. В своих замечательных работах по квад­ ратичным формам Кели показал, что вся­ кому коническому сечению, или кривой 2-го порядка {см. ХШ, 331/32, прил., 15,21) отвечают проективные преобразования, не меняющие этого конического с чения. Что­ бы это хорошо выяснить, ограничимся окружностью. Если в плоскости окружно­ сти произведем проективное преобразо­ вание, то оно, вообще говоря, преобра­ зует эту окружность в некотурую другую кривую 2-го порядка. Но существуют та­ кие проективные преобразования, которые преобразуют все точки этой окружности в точки, принадлежащие этой же окруж-