* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

374' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 2 г 375' его не производим. Следовательно, самый механический процесс движения для нас никакого значения не имеет. Если просле­ дить любое рассуждение, в котором мы в геометрии пользуемся движением, то будет непосредственно ясно, что нас интересует только одно: в какую точку это движение приводит каждую точку плоскости; иными словами, нас интересует только то геомет­ рическое преобразование, которое осуще­ ствляется каждым движением. Реальное дви­ жение находится в таком же отноше­ нии к соответствующему ему геометриче­ скому преобразованию, в каком физиче­ ское тело стоит к его геометрическому образу. Итак, в формальной геометрии сово­ купность движений фигурирует толь­ ко как группа геометрических преобра­ зований. Имеют ли все преобразования этой груп­ пы какие-либо инварианты? Легко видеть, что одна точка инварианта не имеет. В самом деле, если бы такой инвариант суще­ ствовал и, следовательно, имел определен­ ное значение в каждой точке плоскости, то произвольно взятая точка М могла бы быть приведена только в такую точку плоскости М', в которой инвариант имеет то же значение. Между тем движения на плоскости таковы, что всякую точку М можно привести в любую другую точ­ ку М' Но две точки имеют инвариант относи­ тельно группы движений; этим инвариантом служит расстояние между этими точками. В самом деле, если какое-либо движение приводит точки Л и В в совмещение с точ­ ками А' и В', то расстояния АВ и ЖВ' равны между собой. Что касается трех то­ чек, то и они имеют инвариант. В самом деле, тремя точками Л, В, С определяется треугольник ABC, вершинами которого они служат; площадь этого треугольника и есть инвариант движения. Но, как известно, площадь треугольника ABC выражается через его стороны, т.-е. через расстояния АВ, ВС и АС. Поэтому, по существу, пло­ щадь не есть новый инвариант; это есть функция расстояний, она выражается в этих расстояниях. Можно доказать, что ни три точки, ни большее число их не имеет от­ носительно движений независимого инва­ рианта, т.-е. не выражающегося через рас­ стояния между точками. Инвариант, представляющий собою рас­ стояние между двумя точками, имеет две особенности, на которые необходимо обра­ тить внимание. Если, скажем, г есть инва­ риант како! о-либо преобразования, то и вся­ кая функция от г явно также представляет собою инвариант того же преобразования. Если г есть расстояние между двумя точ­ ками, то и г-\-а, г , /*, е ,... также суть инварианты движения. Какие же особенности отлича ют расстояние между двумя точками от других форм того же инварианта? Вопервых, расстояние между двумя точками обращается в нуль в том и только в том случае, если две точки совпадают. Эта осо­ бенность называется дизъюнктиеностью инварианта: он производит дизъюнкцию, т.-е. дает критерий различения точек (две точки совпадают, если расстояние равно нулю; они различны, если расстояние отлично от нуля). Ясно, что этому удовлетворяют лишь определенные формы инварианта. Если г есть расстояние между двумя точками, то инварианты г-}- 1, е этому требованию не удовлетворяют; но функции г , г все-таки также дизъюнктивны; дизъюнктивностью, та­ ким образом, не определяется еще форма инварианта. Есть еще одна важная особен­ ность, которую нужно уяснить. Если Л, В, С суть три точки на одной прямой (вообще говоря, на одной геодезической линии), и если АС есть наибольшее из трех рас­ стояний АВ, ВС и АС, то AC— АВ+ ВС Это свойство расстояния называется адди­ тивностью по отношению к прямой (гео­ дезической) линии. Мы можем теперь резюмировать резуль­ тат рассуждений, приведенных здесь для выяснения формального значения геоме­ трического движения при строго логиче­ ском построении системы геометрии, сле­ дующим образом. Т 2 3 Геометрические движения с формаль­ ной стороны представляют собою •груп­ пу геометрических преобразований, при которых две точки имеют инвариант, допускающий дизъюнктивную и аддити­ вную форму (расстояние между двумя точками); других же инвариантов, не выражающихся через расстояние, не су­ ществует. Движения, как мы себе их реально представляем, с точки зрения чисто геометрической, составляют лишь одну из интерпретаций этой группы преобразований. Эта точка зрения, по существу, была вы­ сказана Гелъмгольцем в мемуаре „ О фактах,, лежащих в основании геометрии* в 1863 г. мо полное развитие, точную научную по­ становку она получила в многочисленных трудах по основаниям геометрии известного шведского математика Софуса Ли (см.), являющегося тзорцом той теории непре­ рывных групп преобразований, к которым относятся преобразования пространства, как множества точек. Все рассуждения, относя­ щиеся к этому вопросу, были здесь для упрощения приноровлены к плоскости. Со­ вершенно ясно, что по существу они отно.сятся и к трехмерному пространству.