* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
372' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 373 иными словами, совокупность всех враще ний вокруг одного и того же центра обра зует группу. Замечательно, что совокуп ность всех вращений плоскости вокруг раз личных центров также представляет собою группу; мы не будем этого здесь доказы вать. Нужно, однако, все же отметить, что движение есть механический процесс, а гео метрическое преобразование есть матема тический акт — отнесение одной точки к другой. Два последних преобразования имеют ту особенность, что каждое из них осуще ствляется движением—параллельным пере несением или вращением плоскости. Обра тимся теперь к любому движению плоскости в самой себе. Под геометрическим движе нием мы разумеем нечто, отличное от ме ханического движения в том смысле, что оно не рассматривается как процесс, про исходящий во времени. Под геометриче- Рис. 21. ским движением мы разумеем только перемещение того или иного образа из одного положения в другое. Для геометри ческого движения (в отличие от механиче ского) вопрос о том, как перемещение со вершалось —путь, по которому оно шло, не играет никакой роли: важны лишь началь ное и конечное положения образа. Два дви жения различны, если они приводят какойлибо образ в два различных положения; они совпадают, если каждое из них приво дит любой образ в то же положение, что и другое (осуществлять это они могли различными путями). Как известно, положение плоскости в самой себе вполне определено, если из вестно положение двух ее точек. Точнее, движение плоскости в самой себе вполне определено, если известно, в какие точки оно приводит две определенные точки плоскости. Итак, положим, что некоторое движение 5 плоскости в самой себе при водит ее точки М и N в совмещение с точками М' и Лг\ Так как путь, каким это осуществлено, никакого значения не имеет, .ю мы предположим, что это выполнено следующим образом: сначала произведено параллельное перенесение, приводящее точ ку М в точку_ М; при этом точка N' пришла в точку Л^затем вращением вокруг точки М' точка N приведена в точку Л/ Всякое движение плоскости в самой себеможет быть рассматриваемо как результат последовательного производства одного па раллельного перенесения и одного враще ния. Всякое движение плоскости в сам,,й себе осуществляет некоторое геоме трическое преобразование, слагающееся из; двух элементарных преобразований — па раллельного перенесения и вращения плос кости *). Самое существенное в этом то„ что всякое движение плоскости в самой себе устанавливает геометрическое преоб разование, относящее каждой точке плос кости А в качестве соответствующей ей ту точку А', в которую это движение точку А приводит. Ясно также, что совокупность всех движений плоскости в самой себе образует группу. В самом деле, если не которое движение S приводит плоскость из одного ее положения в самой себе в другое, а другое движение S переводит ее из этого положения в третье, то всегда су ществует движение, непосредственно приво дящее плоскость из первого положения в третье, т.-е. заменяющее последовательноепроизводство движений 5 и S' Если дви жение 5 совмещает некоторый образ $ на плоскости с образом то это означает, что образ $ конгруэнтен образу если другое движение 5' совмещает образ с образом 5р", то это означает, что образ ф конгруэнтен образу SB" Движение 5S' (составленное из движений S и S') совме щает образ S с образом Щ", т.-е. устана B вливает, что образ sp конгруэнтен образу §р". Иными словами, то обстоятельство, что* совокупность движений образует группу преобразований, представляет лишь иное выражение того основного в геометрии положения, что соотношения $ = $р' и Щ' == влекут за собою соотношение 7 f Мы до сих пор говорили, что движение осуществляет геометрическое преобразо вание. Мы скажем теперь больше; фор мально, в строго логической геометрии, движение только и представляет собою геометрическое преобразование; физическое или механическое движение представляет собою конкретное осуществление этого преобразования. В самом деле, в наших геометрических рассуждениях мы постоянноговорим о движении, но фактически никогда <) Можно показать, что каждое движение пло скости в самой себе может быть осуществлено лвбс» одним параллельным п.ренесением, либо одним вра щением. Мы не будем здесь этого рассматривать.