* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
370' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 37Г каждая линия и каждая фигура преобра зовывается в подобную линию или в по добную фигуру (например, на нашем чер теже линия АА^-.. преобразуется в лидаю А'А\А' .., треугольник KLM — в по добный ему треугольник K'UM'). Сооб разно этому, такое преобразование назы вают подобным преобразованием, или про сто подобием, точку О называют цент ром подобия, а число к— отношением подобия. Возможны различные подобные преобразования из одного и того же центра; они отличаются одно от другого значением числа к — отношения подобия. Если мы возьмем два подобных преобра зования с общим центром, одно с отно шением подобия к, другое с отношением /, то составленное из них преобразование есть также подобное преобразование во круг того же центра с отношением по добия Ы\ это вполне понятно: если одно .преобразование, скажем, увеличивает раз меры в к раз, другое их затем увеличи вает в / раз — в результате получается увеличение в Ы раз. Следовательно, сово купность подобных преобразований из од ного и того же центра образует группу. Но два подобных преобразования из раз личных центров при составлении, вообще говоря, не дают подобного преобразова ния, произведенного из какого-либо треть его центра; поэтому совокупность всевозг правления. Точку А' будем считать соот ветствующей точке А. Таким же образом точкам В, С, Д... отвечают точки В', С, D',... Каждой точке плоскости, таким образом, отвечает определенная, соответствующая ей точка—этим устанавливается преобразова ние плоскости. Если бы мы передвинули всю плоскость в направлении ОСУ на рас стояние ОСУ, то точки А, В, С,... совмести лись бы с соответствующими точками А\ В\ С',..., т.-е. каждая точка плоскости со вместилась бы с соответствующей ей точкой. Вследствие этого такое преобразование на зывают параллельным перенесением плоско сти, а вектор 00'—-вектором перенесения. Рис. 20. О Рис. 19. •можных преобразований из различных цент ров не образует группы. Рассмотрим следующее, еще более про стое преобразование. На плоскости возьмем какой-либо вектор (ХУ (рас. 20), т.-е. прямо линейный отрезок определенной величины и определенного направления. Из любой точш А проведем вектор АА', равный 0(7, т.-е. отрезок той же длины и того же на Если мы выполним параллельное перенесе ние с вектором 0(7, а затем параллельное перенесение с вектором ОО", то это будет эквивалентно одному параллельном v пере несению с вектором 00", Все параллельные перенесения образуют группу, и смысл этого утверждения заключается в том, что два последовательных параллельных пере несения могут быть заменены одним парал лельным перенесением. Рассмотрим еще другой пример. Выбе рем опять произвольную точку О за центр и каждой точке А отнесем другую точку А' следующим образом (рис. 21). Из центра О проведем дугу окружности АА' опреде ленной градусной величины < и в опреде о ленную сторону (положительную или отри цательную); конечную точку А' этой дуги примем за соответствующую точке А. Та ким образом, точкам В. С, Д... будут соот ветствовать точки В', С, при чем ду ги В&, СС, D£y,... все будут иметь ту же угловую величину <о. Легко понять, что при повороте всей плоскости вокруг точки О на угол (о каждая точка М придет в соответ ствующую ей точку №. Поэтому самое преобразование называется вращением, или поворотом плоскости вокруг центра О на угол о>. Ясно, что поворот на угол » и по следующий за этим поворот на угол эквивалентны повороту на угол ш-f-a»';