* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

368' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 369' жем, таким образом, говорить о совокуп­ ности сопряжений одного и того же мно­ жества с самим собой. Одна и та же группа игроков может при игре в соседи различ­ ным образом рассаживаться в кружок, и каждое такое перераспределение отводит каждому игроку другого соседа, — устана­ вливает другое сопряжение многообразия с самим собой. Положим, что одно из совершенных сопряжений 5 относит про­ извольному элементу Л элемент Л', а другое сопряжение 5' относит элементу А' элемент А" Теперь отнесем элементу А в качестве соответствующего элемент А". Этим мы снова установим некоторое совершенное сопряжение многообразия с самим собой. Говорят, что это новое со­ пряжение составлено из сопряжений S и 5', или что оно заменяет последова­ тельное производство сопряжений S и 5'. Чтобы выяснить это на примере, по­ ложим, что в некоторой игре каждый игрок получает кость; первый тур игры заключается в том, что каждый игрок А передает свою кость избранному им иг­ року Л', при чем ни одному игроку не разрешается принять кость от двух участ­ ников игры. Когда этот тур закончен, ка­ 11. Геометрические преобразования и ждому игроку Л соответствует (отнесен) интерпретация геометрического движе­ другой игрок А', которому он передал свою ния. Обратимся теперь к сопряжениям, кость; этим произведено сопряжение 5 мно­ производимым в геометрических образах. жества игроков с самим собой. Далее со­ Линию, поверхность, часть пространства и вершается второй тур в таком же порядке, все пространство мы можем рассматривать при чем и теперь каждый игрок свободно как многообразие, или множество, состоя­ выбирает партнера, которому он в этот раз щее из точек; в таком многообразии мы передает свою кость. Этим будет осуще­ можем устанавливать сопряжения его с са­ ствлено новое сопряжение 5' множества мим собой. Для определенности остановимся игроков с самим собой; в этом сопряжении на плоскости. Если мы произведем ее со­ игроку Л' будет соответствовать игрок Л". пряжение с самою собой, т.-е. каждой ее Кость, находившаяся в начале игры у игро­ точке отнесем некоторую другую точку ка Л, после второго тура перейдет к А". в качестве соответствующей ей, то каждой Если мы теперь каждому игроку Л в ка­ фигуре будет соответствовать другая фигура, честве соответствующего отнесем игрока составленная из соответствующих точек. А", получившего его кость после второго В этом смысле можно сказать, что сопря­ тура, то этим в множестве игроков будет жение плоскости с самою собой преобра­ вновь установлено сопряжение, или соот­ зовывает каждую ее фигуру в другую фи­ ветствие, 5", которое заменяет последова­ гуру. По этим соображениям сопряжения тельное производство сопряжений 5 и 5', геометрического образа с самим собой при­ или составлено из сопряжений 5 и 5 \ нято называть геометрическим преобра­ Это новое сопряжение обозначают обык­ зованием. новенно символом 55'. Если бы каждый Приведем примеры простейших геометри­ игрок Л получил обратно кость, которую ческих преобразований. Выбрав определен­ он имел в начале игры, и сам сразу пере­ ную точку О (рис. 19), отнесем каждой дал бы ее тому партнеру Л", который ее точке Л другую точку Л', расположенную получил во втором туре, то он. так сказать, на луче OA таким образом, что OA' — k'OA, непосредственно осуществил бы то сопря­ где k есть некоторое постоянное положи­ жение, которое заменяет последовательное тельное число. Можно сказать, что это производство сопряжений 5 и 5'. преобразование относит точке Л другую В связи с этим остается выяснить еще точку А' на луче OA таким образом, что одно понятие. Как из предыдущих приме­ отношение OA': OA остается постоянным ров должно быть ясно, в каждом множестве (равным k); если й > 1 , то точка А' более можно устанавливать различные его сопря­ удалена от О, нежели точка Л; если k < 1, жения с самим собою. Пусть 5 , 5 , 5 5* го она ближе к О, чем Л. Вследствие этого t 2 3 будут некоторые сопряжения множества §t с самим собой. Эту совокупность сопря­ жений мы обозначим через 2. Возьмем те­ перь два сопряжения — 5,- и 5,- и образуем составленное из них сопряжение 5.SL Мо­ жет оказаться, что это новое сопряжение фигурирует в совокупности 2, но может слу­ читься, что его в этой совокупности нет. Если совокупность сопряжений 2 такова, что всякое сопряжение 5*5^, составленное из двух ему принадлежащих сопряжений, также входит в ее состав, то говорят, что совокупность S составляет группу сопря­ жений. Если множество 91 содержит конеч­ ное число элементов, то существует опре­ деленное число возможных сопряжений этого множества с самим собой. Совокуп­ ность всех этих сопряжений, очевидно, со­ ставляет группу. Что из т )й же совокуп­ ности можно выделить часть сопряжений, последовательное производство которых может, дать сопряжения, в эту часть не входящие, — это также ясно; в самом деле, если в совокупность 2 мы введем сопряжения 5 и 5', но не введем со­ пряжения 55', то совокупность 2 группы не образует. f