* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

360' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 361 кривизна имеет на одной и другой поверх­ ности одно и то же значение. Теперь мы будем в состоянии ответить на поставлен­ ный выше вопрос о том, каковы поверх­ ности, на которых фигура может передви­ гаться свободно путем изгибания. Ответ этот представлял собою непосредственный вывод из основной теоремы Гаусса и впервые был указан Миндингом. Если поверхность может быть передвинута сама по себе так, чтобы любая ее точка А со­ впала с любой другой точкой В, то ее кривизна в точке А должна быть такая же, как в любой другой точке В. Иными словами, поверхность должна иметь во всех точках одинаковую кривизну,—короче, как принято говорить, это должна быть поверхность по­ стоянной кривизны. К таким поверхностям, в первую очередь, относится плоскость, кривизна которой во всех точках равна нулю. Постоянную кривизну, равную нулю, имеют также все те поверхности, которые развертываются на плоскость. Сюда отно­ сятся, в частности, конические и цилиндри­ ческие поверхности, о которых мы гово­ рили выше; на них возможна поэтому гео­ метрия, развиваемая методом наложения; как мы видели, эта геометрия совпадает с евклидовой планиметрией. Сфера радиуса R имеет постоянную кри­ визну -щ и притом положительную. Но сфе­ ра — не единственная поверхность постоян­ ной положительной кривизны; есть бесчис­ ленное множество других поверхностей, которые развертываются на сферу. Если возьмем вырезок сферы, ограниченный двумя меридианами, и свернем его так, чтобы меридианальные края сошлись, то мы получим поверхность веретенообразной формы, имеющую ту же постоянную поло­ жительную кривизну. Геометрия такой по­ верхности, конечно, совпадает с геометрией той части сферы, свертыванием которой эта поверхность получена.—Сгибая те или иные часта сферы, можно получить поверх­ ности самой причудливой формы, и на всех них будет иметь место сферическая геомет­ рия. Но, согласно теории Гаусса-Миндинга, свободное передвижение фигур путем из­ гибания возможно также на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Этого рода поверхности в первый раз исследовал Миндинг; он построил их тригонометрию, т.-е. построил уравнения, связывающие сто­ роны и углы геодезического треугольника на поверхности постоянной отрицательной кривизны. По игре случая этот мемуар Миндинга и мемуар Лобачевского, содержавший тригонометрию неевклидовой плоскости, бы­ ли помещены в двух последовательных томах журнала Креля („ Journal fur reine und angeтолько через 30 лет Бельтрами(си.) обнару­ жил связь между этими работами.Бельтрами, впрочем, вел свои исследования совершен­ но независимо от Миядинга. Он изучал раз­ личные поверхности постоянной отрицатель­ ной кривизны, исследовал их геометрию и тригонометрию. Он был знаком с работами Лобачевского и с величайшим изумлением и торжеством обнаружил, что геометрия;' поверхностей постоянной отрицательной кривизны формально совпадает с геомет­ рией неевклидовой плоскости, совпадает в том же смысле, в каком геометрия ци­ линдра совпадает с геометрией евклидовой плоскости, а геометрия поверхностей по­ стоянной положительной кривизны совла­ дает с геометрией сферы. Бельтрами, а за ним Дини привели примеры различных по­ верхностей постоянной отрицательной кри­ визны, в особенности тех из них, которые могут быть получены путем вращения. На рис. 15 и 16 изображены такого рода по­ верхности; из них поверхность {рис. 16> wandte Mathematik", Bd. XIX, Bd. XX). Ho Рис. 15. Рис. 16. имеющая вид бесконечно суживающегосябокала, особенно замечательна; ее обыкно­ венно называют псевдосферой (некоторые авторы называют псевдосферой всякую по­ верхность отрицательной кривизны). Впе­ чатление, произведенное мемуарами Бельт­ рами, было огромное. Планиметрия Ло­ бачевского ожила: она утратила характер остроумного парадокса, она оказалась гео­ метрией реальных образов. Весь результат, к которому мы пришли, можно 'формулировать теперь следующим образом. Если на передвижение фигур по поверхности смотреть с широкой точки зре­ ния Гаусса, то существуют три типа дву­ мерных геометрий. Во-первых, геометрия поверхностей, развертывающихся на пло­ скость, или иначе, поверхностей постоянной нулевой кривизны; это есть евклидова пла­ ниметрия; из соображений, в которые здесь, нецелесообразно входить, ее называют так­ же параболической геометрией. Во-вторых,.