* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
358' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 359' ,нии ответа на этот вопрос представляет понятие о кривизне поверхности в данной точке, установленное Гауссом. Мы хорошо себе представляем, что поверхность может •быть более искривлена в одних своих точ ках и менее в других. Одна из главных .заслуг Гаусса в геометрии заключается в том, что он дал средства для точного численного выражения меры кривизны по верхности в каждой ее точке. Точку М на поверхности фигуры обве дем небольшой замкнутой линией. Обра зуется замкнутая площадка, ограниченная этой линией. Вдоль всей линии проведем .к поверхности нормали (перпендикуляры), которые, таким образом, окружат нашу пло щадку. Размер этой площадки обозначим через s. Теперь из какой-нибудь точки про странства радиусом, равным единице длины, опишем сферу и из ее центра проведем радиусы, параллельные всем нормалям, ограничиваюшим площадку $. Эти нормали «выделят на сфере некоторую площадку •-. Легко понять, что размеры этой площадки зависят от того, в какой мере поверхность •изогнута вокруг точки М. Если поверхность плоская, т.-е. если она совсем не изогнута, то все перпендикуляры параллельны, а па раллельные им радиусы вспомогательной •сферы сольются в один,—вместо площадки с мы получим одну только точку; иначе го воря, с в этом случае равно 0: Если по верхность вокруг точки М будет слабо изогнута, то площадка о будет очень мала; .напротив, если поверхность будет значи тельно изогнута вокруг точки М, то нор:мали образуют большой раструб, благодаря чему на сфере получится большая пло щадка о. В соответствии с этим Гаусс при нимает за среднюю кривизну поверхности 9 других поверхностях одни из этих сечений изогнуты в одну сторону, другие—в дру гую. Так, в точке М сферической поверх ности все нормальные сечения обращены вогнутостью в сторону внутренней нормали (на рис. 13 —вниз); на седлообразной же Рис. 13 поверхности (напр., однополого гиперболо ида), изображенной на рис. 14, продольные сечения обращены вогнутостью кверху, а поперечные—вниз. В том случае, когда все сечения направлены вогнутостью в одну сто рону, Гаусс приписывает кривизне знак - Ь а в том случае, когда эти сечения напра влены в различные стороны, кривизне при- *з ограниченном контуре отношение — S Когда контур, охватывающий точку М, ста новится все меньше и меньше—стремится •к 0, то отношение стремится к опреде ленному пределу; этот предел Гаусс и .принимает за меру кривизны поверхности в данной точке. Следуя этому правилу, можно легко обнаружить, что кривизна ша ровой поверхности радиуса R в каждой точке равна Гаусс приписывает кривизне поверхности •в каждой ее точке также знак. Если мы в точке М поверхности проведем нормаль и через нее различные плоскости, то они при пересечении с поверхностью дадут так называемую розетку нормальных сечений. На одних поверхностях все сечения, обра зующие эту розетку, направлены своею вогнутостью в одну и ту же сторону; на Рис. И. писывается знак — (кривизна имеет "отри цательное значение). В каждой точке сфе рической поверхности кривизна имеет по ложительное значение, в каждой точке седлообразной поверхности кривлзна имеет отрицательное значение. Самая замечательная теорема, установлен ная Гауссом в ^Disquisitiones", заключается в том, что при изгибании поверхности кри визна ее в каждой точке сохрдаяет свое значение. Если поэтому одна поверхность может быть развернуга на другую, то в точках, приходящих при этом s совпадение 2