* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

362' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 363' геометрия поверхностей постоянной поло­ жительной кривизны; эта геометрия фор­ мально не отличается от геометрии сферы; ее в настоящее время часто называют эл­ липтической геометрией. В-третьих, нако­ нец, геометрия поверхностей постоянной отрицательной кривизны; эта геометрия формально совпадает с планиметрией Ло­ бачевского; ее в настоящее время часто на­ зывают, как мы уже сказали, гиперболи­ ческой геометрией. Казалось бы, что после этого замечатель­ ного открытия Бельтрами вопроса о логи­ ческой правильности геометрии Лобачев­ ского не могло более существовать. Нужно сказать, что с этого времени ни один гео­ метр, бывший в курсе дела, в этом дей­ ствительно уже не сомневался. Но, с точки зрения строгой логики, вопрос все-таки нель­ зя было считать решенным, и это по двум причинам. Во-первых, исследования Бельт­ рами могли решить судьбу только двумер­ ной гиперболической геометрии; вопрос же о трехмерном гиперболическом пространстве оставался совершенно открытым. Во-вторых, и по отношению к двумерной гиперболи­ ческой геометрии оставались серьезные со­ мнения. Гиперболическая геометрия на всех известных нам формах псевдосферы осу­ ществляется лишь частично, подобно тому, как плоская евклидова геометрия лишь ча­ стично осуществляется на поверхности круг­ лого цилиндра. Чтобы достигнуть полного осуществления евклидовой геометрии, мы должны были перейти к параболическому цилиндру, вообще к такой цилиндрической поверхности, на которой все геодезические линии имеют беско­ нечное протяжение. Сообразно этому, для полного осуще­ ствления гипербо­ лической геометрии необходимо было бы найти такую по­ верхность постоян­ ной отрицательной кривизны, на кото­ рой все геодезиче­ ские линии имели бы бесконечное про­ тяжение. Такую по­ верхность тщатель­ Рис. 17. но искали, но ее не нашли. Более того: Гильберт показал, что такого рода по­ верхности вовсе не существует. Пытливый ум геометра-логика на этом не успокоился. Нужно было довести решение вопроса до конца; это было достигнуто дальнейшим развитием идеи об интерпретации геометрии. новлены две основные идеи. Первая из них заключается в том, что геометрическая си­ стема может получать различные интерпре­ тации, или различные формы осуществления. Вторая дает такого рода интерпретацию неевклидовой геометрии в евклидовом про­ странстве. Если мы возвратимся к интерпретациям евклидовой планиметрии, данным в пре­ дыдущей главе, то заметим, что они сво­ дились всегда к тому, что под прямой линией разумели геодезическую линию на той или иной поверхности. Движение же фигур без деформации заменялось таким их движением, которое сопровождается из­ гибанием. В этом направлении можно, однако, итти и дальше. -Можно значительно больше оторвать геометрические термины от тех образов, которые мы с ними перво­ начально соединили, не нарушая правиль­ ности, справедливости или применимости самой системы. Вообразим себе горизонтальную плоскость в евклидовом пространстве. Над каждой точкой этой плоскости представим себе, по одну и ту же сторону от плоскости, перпен­ дикуляр одной и той же длины. Над каждой точкой плоскости будет стоять, таким обра­ зом, перпендикулярный стерженек. Теперь под „точкой", в новом значении этого слова, будем разуметь каждый такой стерженек. Под „прямой" будем разуметь плоскую по­ лоску, имеюшую ширину, равную высоте стерженька и проходящую через два таких стерженька. Таким образом, „прямая" будет составлена из точек-стерженьков, стоящих над обыкновенной прямой в плоскости Рис. 18. основания. Легко видеть, что черезТдве .точки" проходит одна и только "одна .прямая", что .прямая" может быть неогра­ ниченно продолжена и т. д. Рис. 17 изо­ бражает две параллельные .прямые*, а рис. 18—.прямолинейный треугольник". Со­ 9. Свободная интерпретация геомет­ вершенно ясно, что и при этой интерпре­ рии. В предыдущих двух главах былиуста- тации, уводящей нас уже далеко от обыч- 2*