* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
342' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 343' чу АВ. В этой форме предложение очень близко подходит к евклидову постулату; но, на самом деле, положение совершенно иное, потому что самое понятие о параллель ности здесь существенно другое. Лобачевский доказывает, что луч, па раллельный другому лучу в одной из своих точек, параллелен ему и в каждой другой своей точке, т.-е. в каждой из своих точек с надлежащей стороны производит отделение пересекающих прямых от непересекающих. Он доказывает также, что два луча всегда взаимно параллельны, т.-е. что, если луч CD || АВ, то и АВ \\ CD; благодаря этому мы можем говорить просто о двух парал лельных лучах (не оговаривая, который из них параллелен другому). Далее, как и в евклидовой геометрии, два луча, параллель ные третьему, параллельны между собою. А Рис. В В таком виде представляется учение о параллельных линиях в геометрии Лоба чевского. На нем непосредственно основы вается учение о взаимном расположении прямых на плоскости. Если прямая CD пе ресекается с прямой АВ, то она, как и в евклидовой геометрии, беспредельно от нее отдаляется по обе стороны от точки пере сечения. Если луч CD параллелен лучу АВ (рис. 5), то со стороны параллельности он неограниченно (асимптотически) при ближается к АВ, никогда его не достигая; с другой же стороны неограниченно от него удаляется. Наконец, если луч CD расходится с АВ (рис. 6), то с той стороны, с которой он образует с перпендикуляром MN острый угол NMD, он сначала прибли жается к АВ, достигает наименьшего рас стояния PQ и затем начинает с другой стороны перпендикуляра PQ симметрично относительно него удаляться от АВ; пря мая же PQ перпендикулярна к обеим пря ми кругами, или предельными линиями,. мым. В евклидовой геометрии две прямые могут оставаться на одном и том же рас стоянии одна от другой: этим свойством обладают две параллельные прямые. В пло скости Лобачевского это никогда не имеет места. Две прямые либо неограниченно расходятся одна от другой по обе сторо ны от общей точки (пересекающиеся пря мые), либо неограниченно сближаются с одной стороны и неограниченно удаляются одна от другой с другой стороны (параллель ные прямые), либо неограниченно удаля ются по обе стороны от общего перпенди куляра (расходящиеся прямые). Аналогичнодело обстоит с двумя плоскостями. Они. могут пересекаться,—тогда они неограни ченно удаляются одна от другой по обе стороны от линии пересечения; они могут быть параллельны,—тогда они неограничен но приближаются одна к другой вдоль пуч ка параллельных лучей; они могут расхо диться,—тогда они имеют общий перпендику ляр, от которого неограниченно расходятся во все стороны. Все эти соотношения Ло бачевский вполне строго доказывает, исходя из основных положений, которые легли в основу его системы, т.-е. абсолютной геометрии и постулата, противоположного евклидову. В дальнейшем развитии его системы основную роль играет одна геометрическая идея, чуждая новых допущений, но очень своеобразная по своему замыслу. Она свя зана с особого рода кривыми и поверхно стями, существующими в неевклидовом пространстве, с т. н, предельными линиями и предельными поверхностями. Совокуп ность лучей, проходящих в плоскости через одну точку, образует пучек; общая точка на зывается центром пучка. Окружности, имею щие обший центр в центре пучка, предста вляют собою т. н. ортогональные траектории пучка, т.-е. кривые, пересекающие все лучи пучка ортогонально, под прямым углом. Это имеет место как в евклидовой, так и в неев клидовой геометрии. Совокупность парал лельных лучей, как в евклидовой, так и не евклидовой плоскости, также рассматри вается как пучек; это как бы пучек, центр которого лежит в бесконечности. Ортого нальными траекториями такого пучка в евклидовой плоскости служат прямые, пер пендикулярные к лучам этого пучка. Ру ководясь этими соображениями, в евклидо вой геометрии часто говорят, что прямую можно рассматривать как окружность, центр которой лежит в бесконечности, или как окружность бесконечно большого радиуса. В неевклидовой плоскости ортогональными траекториями пучка параллелей служат не прямые, а замечательные кривые (рис. 7),. которые Лобачевский называет предельны