* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
340' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 341' ния его сочинений, видно, как глубоко Гаусс владел неевклидовой геометрией. Впервые эти замечательные идеи были опубликованы в 1826 г. великим русским геометром, профессором казанского унив. Н. И. Лобачевским (см.), а несколькими годами позже, совершенно независимо от Лобачевского,— чрезвычайно талантливым молодым венгерским математиком Иоанном Больай (см. Больэ). Основная мысль этих геометров заключалась в том, что, присоеди няя к абсолютной геометрии постулат, про тивоположный постулату Евклида, как это дел :ли все, пытавшиеся доказать постулат Все прямые, проходящие в той же плос кости через точку О (рис. 4), распадаются относительно прямой A3 на две категории: первую категорию образуют прямые Q/'Q', W'iV, F'P встречающие прямую АВ; вто рую образуют прямые К"К', L"L', М"М', ко торые прямой АВ не встречают. Обе катего рии прямых отделяются одна от другой дву мя прямыми А"А' и В"В'. Картина предста вляется в таком виде, что прямые, проходя щие внутри вертикальных углов А'ОВ" и В OA', пересекают прямую АВ, прямые же, проходящие внутри углов А'ОВ" и А"ОВ%. ее не пересекают. Правильнее, следователь от противного, невозможно притти к про но, будет сказать, что прямые, проходящие тиворечию, ибо его в этой комбинации через точку О, делятся относительно пря посылок вовсе нет. Иными словами, с мой АВ не на две, а на три категории: точки зрения логической нет ничего несо 1) пересекающие АВ, 2) расходящиеся с образного в том, чтобы отвергнуть пятый нею (т.-е. проходящие внутри углов А'ОВ" постулат Евклида и вместо него принять и A"Off) и 3) прямые А"А' и В"В\ отдепротивоположное положение. Это положе ние также будет логически совместимо с остальными постулатами Евклида и приве дет к стройной геометрической системе, глуб .ко отличающейся от евклидовой, но столь же совершенной и формально пра вильной. Эта неевклидова геометрия нахо дится в резком противоречии с нашими интуитивными представлениями о геомет рических образах; но логическая концепция все же остается совершенно безукоризнен ной. Это разительное противоречие междг интуицией и логикой, разгадка которого была обнаружена лишь много позже, слу жило для многих выдающихся математиков непреодолимым препятствием для принятия неевклидовой геометрии. И лишь исключи тельная проницательность двух-трех ге ниальных мыслителей призвала к жизни и w Р' Ч осветила этот новый мир замечательных Рис. 4. геометрических идей. % / 6. Содержание геометрии Лобачевсколяюшие прямые, расходящиеся с прямой' го-Больай. Лобачевский и Больай разными путями пришли к одной и той же своеобраз ной геометрической системе. Совершенно ясное представление об этой замечательной системе можно получить только путем тер пеливого и основательного ее изучения. Здесь же о ней возможно дать только самсе общее представление. Пятый постулат Евклида Лобачевский бе рет в так называемой Плейфордовской фор ме, в которой он получает следующее вы ражение: в плоскости через точку О, ле жащую вне прямой АВ (которая, конечно, лежит в той же плоскости), можно прове сти только одну прямую, не встречающую АВ. Противоположное допущение, следова тельно, заключается в том, что через точ АВ, от прямых, ее пересекающих. Две пря мые последней категории прямой АВ так же не пересекают, но по обе стороны пер пендикуляра ОР' это суть первые прямые, не пересекающие А В. Эти две прямые Ло бачевский называет параллельными пря мой АВ в точке О. Термин этот имеет, таким образом, у Лобачевского не то зна чение, что у Евклида. Через каждую точку плоскости О проходят, следовательно, две прямые, параллельные данной прямой АВ. Но если рассматривать не прямые, а лучи, разумея под лучем АВ прямую АВ, на правленную от Л к В, а под лучем В А — ту же прямую, направленную от В к Л, то можно считать луч А"А' параллель ным лучу ВА, а луч В"В параллельным ку О, лежащую вне прямой АВ, в плос лучу АВ. При таком соглашении можно кости ОАВ, проходит больше одной пря сказать, что в плоскости через каждую мой, не встречающей АВ. Это и есть точку О, лежащую вне луча АВ, проходит один и только один луч, параллельный луисходное допущение Лобачевского.