* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 345 1 или орициклами. Окружностями беско­ проходящей через ось, есть окружность. нечного радиуса здесь служат не пря­ В частности, если в какой-либо точке оси мые, как в евклидовой геометрии, а пре­ (К или К'), лежащей с вогнутой стороны дельные линии. Замечательное свойство предельной поверхности, проведем к этой •предельной линии заключается в том, что -она может скользить по самой себе, как прямая или окружность: она имеет оди­ наковую кривизну во всех своих точках. Вместе с тем, подобно прямым линиям, все предельные линии конгруэнтны между собой. В пространстве совокупность лучей, про­ ходящих через одну и ту же точку, образует •связку. Сферические поверхности, имеющие центр в центре связки, пересекают орто­ гонально все лучи связки. Если центр связки .„уходит в бесконечность", т.-е., если связка состоит из параллельных лучей, то поверх­ ностями, ортогонально эти лучи секущими, з евклидовом пространстве являются плос­ кости; в неевклидовом пространстве эту роль играют кривые поверхности, которые .Лобачевский называет предельными ПО­ Рис. 8. оси перпендикулярную плоскость, то она пересечет поверхность по окружности. Та¬ , ким образом, предельная поверхность может • быть рассматриваема как поверхность вра, щения вокруг любой из ее осей. Так как меридианами при этом служат предель­ ные линии, то можно сказать, что предель­ ная поверхность может быть получена вра­ щением предельной линии вокруг любой из ее осей, совершенно аналогично тому, как сфера получается вращением окружности большого круга вокруг любого диаметра шара. Разница лишь в том, что орисфера есть поверхность разомкнутая, и ее диамет­ ры как бы сходятся в бесконечности. Геометрию плоскости, планиметрию, мож­ но строить, не выходя из самой плоско­ сти, основываясь на возможности свобод­ РЫ. 7. ного передвижения плоскости в самой себе; это свободное передвижение заключается в том, что каждую точку плоскости можно верхностями, или орисферами {рис. 8); лу­ чи пучка называются осями орисферы. привести в совмещение с любой другой Орисфера обладает тем же свойством, что точкой, а затем вращением плоскости вокруг сфера и плоскость: она может свободно этой точки повернуть ее на любой угол. Т1ередвигаться по самой себе. Через каж­ Основными образами, которыми оперирует дую точку орисферы проходит ось. Если планиметрия,являются прямые линии,прямо­ возьмем две точки О и Л на орисфере линейные углы и прямолинейные фигуры; \рис. 9) и через них проведем оси поверх­ изучение кривых линий, даже окружности, ности ОСУ И АА\ то плоскость, через эти уже основывается на предварительном изу­ две параллели проходящая, рассечет по­ чении прямой. верхность по предельной линии OA. Таким Аналогично этому строится геометрия образом, на предельной поверхности через сферы. И сфера может свободно передви­ каждые две точки проходит одна и только гаться по самой себе, при чем каждая точ­ •одна предельная линия, как на плоскости ка может быть приведена в любую другую через каждые две точки проходит одна и точку, и вращением вокруг любой точки только одна прямая. Сечение предельной сферу можно повернуть на любой угол. В ^поверхности всякой другой плоскостью, не геометрии сферы роль прямых в качестве