ЖОРДАНА МЕРА

параллелепипеда

в Rⁿ объем этого параллелепипеда.

Для ограниченного множества определяются: внешняя мера Жордана

и внутренняя мера Жордана

где D_j попарно не пересекаются (здесь D_j - параллелепипеды вида (*J). Множество Еназ. измеримым по Жордану (квадрируемым при n=2, кубируемым при ), если т _e Е=т _i Е или, что равносильно,

где В этом случае Ж. м. равна mE=m_eE=m_iE.

Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет Ж. м. нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет Лебега меру нуль).

Приведенное понятие меры ввели Дж. Пеано [1] и К. Жордан [2]. Внешняя Ж. м. одна и та же для Еи Е( замыкания множества Е )и равна Бореля мере Е. Измеримые по Жордану множества образуют кольцо множеств, на к-ром Ж. м. конечно аддитивная функция. См. также "Квадрируемость".

Лит.:[1] Реanо G., Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Torino, 1887; [2] Jordan C, "J. math, pures et appl.", 1892, t. 8, p. 69-99; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973; [4] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.

А. П. Терехин.