ГАРМОНИЧЕСКАЯ МАЖОРАНТА

наименьшая гармоническая мажоранта семейства - нижняя огибающая семейства всех супергармонич. мажорант v_k , семейства субгармонич. функций на открытом множестве Dевклидова пространства т. е.

Г. м. либо является гармонич. функцией, либо В случае семейства, состоящего из одной функции и, субгармонической на более широком множестве иногда используется также понятие наилучшей Г. м. - решения обобщенной задачи Дирихле для Dпо значениям ина границе Всегда причем справедлива формула [1]

где - ассоциированная с имера, - (обобщенная) функция Грина задачи Дирихле для D. Наилучшая н наименьшая Г. м. совпадают тогда и только тогда, когда множество всех иррегулярных точек Г имеет -меру нуль.

Соответственно, если - семейство супергармонич. функций на D, то наибольшая гармоническая миноранта семейства определяется как верхняя огибающая семейства всех субгармонич. минорант семейства ; при этом есть наименьшая Г. м. для семейства .

Другую постановку вопроса о Г. м., связанную с задачей Коши для уравнения Лапласа, см. в ст. "Гармоническая функция".

Лит.:[l] Frostman О., Potentiel d'equilibre et capacite des ensembles avec qvielques applications a la theorie des fonctions, Lund, 1935; [2] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964, гл. 2, 9. Е.