ИЕНСЕНА ФОРМУЛА

- соотношение, связывающее значения мероморфной функции внутри круга с ее граничными значениями на окружности и с ее нулями и полюсами. Пусть f(z)- мероморфная функция в круге a_m, и b_v, -соответственно все нули и полюсы f(z), причем каждый нуль или полюс считается столько раз, какова его кратность или порядок. Если то справедлива И. ф.:

в к-рой суммы распространены на все нули и полюсы f(z)внутри круга |z|

Справедлива и более общая формула, названная Р. Неванлинной формулой Пуассона - Иенсена и дающая значения ln |f(z)| в любой точке z=re^iq, отличной от нулей и полюсов:

Формулу (2) можно рассматривать как обобщение Пуассона интеграла для круга. Точно так же, обобщая "Шварца интеграл" для круга, получают формулу Шварца - Иенсена:

Возможно также построение формул типа (1) - (3) для полуплоскости и других областей. Формулы (1) - (3) играют важную роль в распределения значений теории.

Широкое обобщение формул (1) - (3) получено М. М. Джрбашяном в его теории классов мероморфных функций (см. [3]). Ему удалось получить целое семейство таких формул, зависящее от нек-рого непрерывного параметра a, . связанного с интегродифференциальным оператором D^a, причем, напр., формула (3) оказывается частным случаем при a=0.

Формулы (1) и (2) обобщаются для субгармонич. функций (см. [4]) и(х)в шаре евклидова пространства Rⁿ, следующим образом:

где s(R).- площадь сферы |y| = R в Rⁿ, G(x, у) - Грина функция для шара |y| с полюсом в точке х,m - положительная мера, ассоциированная с субгармонич. функцией и(х). Первое слагаемое в формуле (4) - наименьшая гармоническая мажоранта функции и(х)в шаре выраженная в виде интеграла Пуассона от граничных значений; второе слагаемое - потенциал Грина, в частных случаях вырождающийся в логарифмы модуля Бляшке произведений, фигурирующие в формуле (2), Формула (2) получается из (4) с учетом того, что ln |f(z)| для мероморфной функции f(z)есть разнoсть двух субгармонических функций; для функций последнего типа формула (4) также применима .