* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

152 3 МОДУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1 т л . VI остаются неиз­ (11) (12) (13) а Ф у н к ц и я S (и; со, со&) и и н в а р и а н т ы .<7 (<», со&) и ? ( ш , <»&) менными: 2 а ?>(ц; со, w&)=«g*(H: со. со&), # & | = &&(<», to&), & ( ю . co&) = г 2 <; (co. со&). 3 В е л и ч и н ы е = ( Р ( с о ; а», и & ) , е = (о) со&; со. со&) и е = (со&; со, со&) п е р е х о д я т одни в д р у г и е . Как. п р о и с х о д и т э т о т п е р е х о д , з а в и с и т о т зна­ ч е н и й , п р и н и м а е м ы х ч и с л а м и а, Ь, с, (I. С о о т в е т с т в у ю щ е е п р а в и л о д л я о п р е д е л е н и я п о л у ч а е м ы х при э т о м з н а ч е н и й е . = * 8 » ((»; и , со&), е = е %> (со + со, а&), е = $>{со&; со, со&) у б ы л о д а н о в § 11. Отношение периодов т& = ^ г со получается из отношения й дрббнблинейной г (14) подстановкой г& = - " - ± * - , ad-frc=l, (15) СТ - f й н а з ы в а е м о й у н и м о д у л я р н о й . С л е д у е т о т м е т и т ь , ч т о в с и л у у с л о в и я (10) м н и м а я ч а с т ь т/ п о л о ж и т е л ь н а , к о г д а м н и м а я ч а с т ь г п о л о ж и т е л ь н а . § 2. А б с о л ю т н ы й и н в а р и а н т . А б с о л ю т н ы м величина, определяемая равенством f « — ^ . инвариантом называется (16) Е с л и р а с с м а т р и в а т ь в е л и ч и н у / к а к ф у н к ц и ю п е р и о д о в 2со и 2 ы & . т о оказывается, что / зависит только от отношения периодов: &(т) = Ь&ЛиГ> -. (17) А б с о л ю т н ы й инвариант как ф у н к ц и я о т н о ш е н и я п е р и о д о в т о п р е д е ­ л я е т с я р а в е н с т в о м (17) д л я в с е х з н а ч е н и й т, д л я к о т о р ы х м н и м а я ч а с т ь положительна. Замечательное свойство абсолютного инварианта выражается равен­ ством: о с + й ст + а )=im, (is) г д е о, Ь, с, d — ц е л ы е ч и с л а , у д о в л е т в о р я ю щ и е с о о т н о ш е н и ю ad — Ьс=. Э т о р а в е н с т в о п о к а з ы в а е т , ч т о д л я д в у х з н а ч е н и й т и т&, с в я з а н н ы х со­ о т н о ш е н и е м (15), з н а ч е н и е а б с о л ю т н о г о и н в а р и а н т а о д и н а к о в о . С в о й с т в о а б с о л ю т н о г о и н в а р и а н т а , в ы р а ж а е м о е р а в е н с т в о м (18), в и з ­ вестном смысле аналог двоякой периодичности функция (и). В т о в р е м я к а к ф у н к ц и я (Р(н) п р и н и м а е т о д и н а к о в ы е з н а ч е н и я в т о ч к а х и и и&, с в я ­ занных соотношением и& = и + 2л! ю + 2 л со&. (19) где т и п — целые числа, абсолютный инвариант получает одинаковые з н а ч е н и я д л я з н а ч е н и й т и г&, с в я з а н н ы х с о о т н о ш е н и е м (15). Н а з о в е м т о ч к и ъ и г & п л о с к о с т и п е р е м е н н о г о т, с в я з а н н ы е с о о т н о ш е ­ н и е м (15), к о н г р у . е н т н ы м и . О с н о в н о й , и л и ф у н д а м е н т а л ь н о й , о б л а с т ь ю абсолютного инварианта называется область плоскости переменного i + s & > обладающая следующими свойствами. r = T T