* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

109 ОШРЕСНИТЕЛИ ПО где А—нек-рая ф-ия х. Равенство (17) на­ поминает известное свойство однородных ф-ий. Если между ф-иями f , f , •&••> f сущест­ вует линейная зависимость, то определитель Вронского W(f / f ) = 0; если же, наобо­ рот, W(f , / , . . . , / ) = 0, то еще нельзя утвер­ ждать о существовании линейной зависимо­ сти: надо ввести добавочное условие—ал­ гебраические дополнения элементов послед­ ней горизонтали О. не обращаются все в нуль в рассматриваемом интервале изменяемо­ сти аргумента. Определение линейной зави­ симости между ф-иями f i , f , . . . , f при помощи определителя Вронского требует существо­ вания производных этих ф-ий до (п—1)-го порядка, между тем линейная зависимость может существовать и тогда, когда функции этих производных не имеют. Необходимым и достаточным условием существования ли­ нейной зависимости между ф-иями f , / , . . . , f в интервале а ^ х «S Ь является равенство ну­ лю О. G(f ,U,...,fn) (Грам): x 2 n Определитель Якоби находит большое при­ менение в теории интегрирования диференциальыых уравнений, особенно с частными производными. Если где F—однородная функция,то из определи­ теля Якоби получается определитель Гессе: d*F дх% v 2 n 1 2 и d*F дхдх 2 d F dxidx n 2 2 n d*F дх дх 2 х d*F дх% dF д х д х 2 п 3 dF дх дхх п 2 d*F дх дх п 2 d^F дх& x 2 n L ь J fx(x)h(x)dx ff (x)f (x)dx...f 1 2 ъ ъ h(x)f (x)dx n Определителем Гессе пользуются в теории форм, а также при рассмотрении многих геометрич. вопросов, для решения которых приходится иметь дело с этими формами. Понятие об О. в своем дальнейшем раз­ витии получило обобщение—рассматривают­ ся О. бесконечного порядка «11 «12 «22 «13 «23 «21 a b a b a b 2 • а 9 J fz&Mxyix a b Jf (x)f (x)dx... 2 f a b f (x)f (x)dx 2 n (18) «М1 « И 2 « Л З a b L j fn(x)f (x)dx a lf 2 ff (.x)f (x)dx n z ... j a f {x)f {x)dx n n a n Пусть f f ,...,f —ф-ии п независимых пе­ ременных х а з , х ; тогда О. 1г 2 п dfx dxt 8/2 dxi dfn dxi Oh dx 2 m dx # n a/2 ox 2 при условии, что при неограниченном воз­ растании п выражение (18) стремится к определенному пределу, который и прини­ мают за значение О. бесконечного поряд­ ка; для этих О. остаются справедливыми многие свойства конечных О. Кроме того вводят в рассмотрение О. высших измере­ ний—кубические. Лит.: Б у к р е е в Б . Я . , Элементы теории опре­ д е л и т е л е й , 2 и з д . , К и е в , 1914; В а щ е н к о - З а х а р ч е н к о M . Е . , Теория определителей и теория ф о р м , К л е в , 1877,- К а г а н В . Ф . , О с н о в а н и я т е о р и и о п р е д е л и т е л е й , О д е с с а , 1922; Н е т т о Е . , Н а ч а л а теории определителей, п е р . с нем., Одесса, 1912; Ч е з а р о Э., Элемент, учебник алгебраич. анализа и и с ч и с л е н и й б е с к о н е ч н о м а л ы х , ч . 1 и 2, О д е с с а , 1914; F i s c h e r Р . В . , D i e D e t e r m i n a n t e n , В . , 1921; N e t t o Е . , Die Determinanten, 2 Aufl., В . — L p z . , 1925; D о s t о г G . , E l e m e n t s de l a theorie des de­ t e r m i n a n t s avec a p p l i c a t i o n a l&algebre, l a trigonometrie et l a geometrie a n a l y t i q u e dans le p l a n et dans 1&espace, 3 6d., P . , 1905; P a s c a l E . , D i e D e t e r m i n a n ­ ten, L e i p z i g , 1900; K r o n e c k e r L . , Vorlesungen iiber die T h e o r i e d . D e t e r m i n a n t e n , L p z . , 1909; J a¬ c о b i C . G . , t ) b e r die B i l d u n g u . die E i g e n s c h a f t e n d. D e t e r m i n a n t e n , Ostwalds K l a s s i k e r d . exakten W i s senschaften, L p z . , 1896, 77; H e s s e O . , D i e D e t e r ­ m i n a n t e n , elementar behandelt, 2 A u f l . , L p z . , 1872; K o w a l e w s k i G . , E i n f u h r u n g i n die D e t e r m i n a n tentheorie, L p z . , 1925; C e s a r о E . , Corso di a n a l i s i algebraica, M i l a n o , 1894. Д. Колянновсний. _9/2 dx n " ^ . dfn dx 2 fn dXfi 9 называют ф у н к ц и о н а л ь н ы м опреде­ лителем Якоби или якобианом и обозначают 0(Л/2 - М ш д(Х!Х2 ... Х) п Условие, необходимое и достаточное для то­ го, чтобы п ф-ий от п аргументов были за­ висимы между собою, состоит в том, чтобы определитель Якоби, образованный для этих ф-ий, тождественно обращался в нуль. Если fx, / 2 , /„—функции у , 2 / , у , а эти последние в свою очередь ф-якх х , ...,х , то г 2 п и 2 п ОПРЕСНИТЕЛИ, аппараты для очистки воды от растворенных нелетучих веществ Функциональный определитель Якоби иг­ путем перегонки. В тех случаях когда не­ рает важную роль при преобразовании крат­ очищенная вода, служащая для питания па­ ных интегралов. Если w-кратный интеграл» ровых котлов, отличается чрезмерно высо­ кой жесткостью (порядка 80—150 немецких J^ .•. J*f(.X,х ,х ) dx dx ... dx градусов и выше) и соответственно чрезвы­ чайно большим плотным остатком (порядка преобразуется при помощи подстановки от 5 до 10 кг/м воды и больше), когда нет Хг = <Рг<Ух>Уг, ••;Уп) (* = 1,2, . . . , П), в распоряжении более удовлетворительной то питательной воды,—для ПОДГОТОВКИ послед­ ней пользуются нередко опреснительными или испарительными установками, в кото­ рых происходит перегонка или дистилля­ I / "& Jf( i& 2, ••-,х ) dx dx ...dx = ция воды. При такой перегонке, связанной с последующей конденсацией образовавшихfn) n .g(/i/a d{x,_x 2 = d{fif 2 ... f ) _ д{у у n г 2 ... у ) п m . . . x) d(viy 2 ... y) n & д(х х г 2 ... x) n 2 п x 2 n 3 x x п 1 2 n г Д е Щх,У2, ••.,Уп) = К<Рх, <Р , 3 .~,<Р ). п