* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

107 Определитель «12 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 108 • • «l№ D = Oiaa. • • « 2 n a a — ои степени переменных х , х , х. Так как замена переменного х переменным жДа, /3= 1, 2, аф($) обращает О. V в нуль, то делителем О. V будет произведение Щх — Хр), распространенное на всевозмож­ ные значения для а и /?, причем будем счи­ тать a > /?. Число множителей вида х — х$ будет Cl, т. е. степень делителя будет та ж е , что и у ф-ии V. Следовательно возможно следующее равенство: V = ЯП (Ха — Жд) , где Л—численный множитель. Из сравне­ ния какого-либо члена О. V с таким ж е Ox Cl членом делителя следует, что Я = 1 . Итак: Ъ с 1 1 ...1 Ь с х • fl будет ортогональным, потому что, к а к из­ (15) х вестно, будут существовать соотношения: х 2 п а I « « - 1 n-2 • • • nn в к-ром сумма квадратов элементов в каждой горизонтали равна единице, а сумма про­ изведений соответственных элементов двух каких-либо горизонталей равна нулю, т . е. в к-ром «!i + «!г + ••• + )п = !> a a + « * « j 2 + • • • + a a = О (ъф j), называется о р т о г о н а л ь н ы м . Например при повороте прямоугольных координатных осей вокруг начала координат ф-лами пре­ образования будут х = а х + Ь у +c z, у = а х + Ъ у +c z, z = а х + b y +c z, где «.. Ъ - и Ci (г = 1, 2, 3) — направляющие косинусы О. этой системы ix jx 2 Вычислим т. наз. с т е п е н н о й О., или определитель Вандермонда: 1 .1 х .х V = XI .х> х % г.п-1 О. V является целой однородной функцией ЩП - 1) а in jn а а х х х x г 2 2 2 x г 3 z г 2 2 3 3 x х «! +Ь?+с? = 1, I а а + М г + i 2 = О » = 1, aja + ЬхЬ + CiCg = О, а|+&Ц-с! = 1, | а а + Ь Ь + с с = 0. Если в ортогональном О. переставить вер­ тикали и горизонтали, то преобразованный О. опять будет ортогональным. Произведе­ ние двух ортогональных О. является также ортогональным О. Возведя ортогональный О. D в квадрат, получим ?> = 1, откуда D = ± l , т. е. числовое значение всякого ортогонального О. равно единице (Якоби). Рассмотрим т. н. ф у н к ц и о н а л ь н ы е О., в к-рых элементами являются ф-ии од­ ного или нескольких переменных. Если эле­ менты О. D являются независимыми пере­ менными, то из тождества D aA +aA + ... + a A следует ЭР A ikc c 2 х 2 а+Ъ1+с 3 3 2 3 2 3 2 3 где a , j ? = l , 2 « H a > j J , Если в О. (15) х , х ,х —корни ур-ия /(ж)=0, то квад­ рат О. V называется дискриминантом (см.) ур-ия. Имеем: 1 1 ... 1 х 2 п " * • 2 F = 2 гп% О/, U o . . .лп2 ^ ф* 9 = П ( ж - ж )» а Ж X& ix ix i2 i2 in t h Дискриминант есть симметрич. ф-ия корней ур-ия и поэтому м. б. выралсен рационально через коэфициеты ур-ия /(ж)=0. Обращение дискриминанта в нуль является необходи­ мым и достаточным условием существования кратных корней ур-ия. Возвышая V в квад­ рат по правилу перемножения О. и введя а$ + а * + ... + ж* = # , получаем выражение для дискриминанта: А дагк S 0 S X S 2 . . &S — N Если же элементы О. D являются ф-иямиж, то dD _ V I 3 D d x S x S 1 u 2 S 3 .. .s n ~ 4h да гк dajjc dx V^ 2М, л ih da,dx k » ^n+X- $2»- dD dx ik L * n dafn dx в к-ром суммы одинаковых степеней корней вычисляются по известным ф-лам Ньютона. Определитель W(f ,f ,...,f ) x 2 n обозначая ~™ через a& , имеем при n = 3: dD dx «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «11 «12 «13 1+ j « 2 l CL <« 2 3 2 1 1 X2 « 3 1 « 3« 3 3 2 + X2 2X «11 «12 «13 «21 «22 «23 = fx i /l t /2 • • • fn f&% • • • ik fl • • • fn (16) Otf.1floofteo da dD xx da da «23 «33 «11 X3 «11 «21 «31 «22 «32 + «12 «22 32 da «13 «31 a a13 da da, «я 2 a33 22 в к-ром f , / , / — ^ ф - и и переменного x, на­ зывается определителем Вронского. Взяв x 2 и + dW + «21 «23 33 da 3X da da -^г, мы увидим, что изменится только по­ рядок производных в последней горизон­ т а л и — повысится н а единицу. Приведем еще такое свойство определителя Вронского: WW lt Я/ , 8 Ц) п = Я • W{f , x и П, ...,f ), n (17)