* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

861 ПОВЕРХНОСТЬ 862 полостей одной и той же П . служит для нее двойною линией, а линия их соприкосно­ вения— ребром возврата. Любую точку Р (а, Ь, с) пространства, лежащую вне П . п-го порядка, можно принять за вершину конуса касательных к ней; порядок этого конуса п-(п—1) совпадает с классом плоского сече­ ния И.; класс его равен классу самой П., т. е. П&(п— I ) . Через кривую касания этого ко­ нуса с Д . F(x, у, z) = 0 проходит так же и П., ур-ие к-рой: 2 его надо умножить на нормирующий мно­ житель N-+ причем знак N всегда противоположен зна­ ку свободного члена D ур-ия (1); тогда COS У А* + В2 + С* 4 ~~ У А з + ва + са . 1 .._ , (7) С = +_ — Е V ~ — - А* + В* + С* dF , дх ^ a . OF, > + by (?/ N & , dF, ) + Qz <* - v = n 0 ; C ) COSJ&- + • К АЗ + В2 + С2 (8) ее называют п о л я р н о ю П . точки Р (по­ люс) относительно данной П . О кривизне и других диференциальных свойствах П . см. Диференциальная геометрия. П . 1-го п о р я д к а или п л о с к о с т ь , простейшая из алгебраич. П . , образуется движением прямой, проходящей через не­ подвижную точку и пересекающей непод­ вижную прямую. Плоскость делит простран­ ство на 2 симметрично расположенные части, может неограниченно перемещаться вдоль себя самой и налагаться на самое себя без складок и разрывов. Всякая прямая, имею­ щая с ней 2 общие точки, целиком принадле­ жит плоскости. Общее уравнение плоскости Ах + By + Cz + D = 0 (1) 1-й степени и имеет 4 коэф-та, т. е. 3 неза­ висимых параметра (отношения коэф-тов); поэтому плоскость вполне определяется тре­ мя условиями, напр. тремя заданными точ­ ками. Если в ур-ии (1) свободный член D = 0 , плоскость проходит через начало координат. Если А или В или С = 0, она параллельна соответственно оси OX, OY или OZ. Если A=D=0 или B = D = 0 и л и C = D = 0 , плоскость проходит через соответствующую ось. Если В = С = 0 или С = А = 0 или А = В = 0, пло­ скость соответственно перпендикулярна к оси OX, OY или OZ. Если наконец А = В = = С = 0 , а 1 ) = ? 0 , т о у р - и е плоскости сводится к невозможному равенству 1 = 0, к-рое одна­ ко можно рассматривать как ур-ие беско­ нечно удаленной плоскости. Ур-ие плоскости в отрезках: c os у = + 2 V 2 А 2 + В~2+ С а 2 х х причем cos a - j - cos P + cos у = 1. Рассто­ яние d любой точки (х , у , Z,) от плоскости, данной уравнением (1) или (6), определяет­ ся так: ( j = Ax +By 1 1 + Cz + D l У А* + В* + С* = х cos а. + у cos Р + z cos у - р; (9) d отрицательно или положительно в зависи­ мости от того лежит л и начало координат и точка (ж,, у , z,) по одну или же по раз­ ные стороны данной плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями А х + В у + С г + D = 0 и А х + В у +C z + + D = 0 равно: (10) х х x х х Л г x х х x 2 1 ) 1 - 1 ) 8 x Совокупность двух плоскостей F = 0 и F = 0 определяет линию их- пересечения, т. е. прямую. Ур-ие 1< + № = О (11) при постоянном к есть ур-ие нек-рой пло­ скости, проходящей через эту прямую; если же к — переменный параметр, ур-ие (11). представляет п у ч о к плоскостей, т. е. совокупность всех плоскостей, проходя­ щих через эту прямую (ось пучка). Три плоскости F = 0, В = 0 и F = 0 пересекают­ ся вообще говоря в одной точке. Ур-ие F + kF + lF = 0 (12> при постоянных к и I есть ур-ие плоскости, проходящей через эту точку; если к и I— переменные параметры, это уравнение да­ 2 ет с в я з к у п л о с к о с т е й , т. е. всю сово­ ъ купность их, проходящую через эту точку где a = - - , & = , с = - ? — отрезки, от­ (центр связки). секаемые ею на осях координат. У г о л ? ме­ П . 2-г о п о р я д к а . Связкою лучей и жду двумя плоскостями А х + В у + C z + плоскостей называется вся совокупность + D i = 0 и АоХ + В у + C z + D = 0 опре­ тех и других, проходящая через одну общую деляется ф-лой: точку (центр или носитель). Две связки на­ cos ? = *A»+-glgL±gigj (3) ходятся в коррелятивном соответствии, если каждому лучу любой из них соответствует из к-рой вытекает условие параллельности определенная плоскость другой, и обратно; двух данных плоскостей: если луч одной из этих связок перемещает­ ся в нек-рой Плоскости, соответствующая ему плоскость другой вращается около не­ А ~ В С, которой прямой. Вообразим две коррелятив­ и условие их перпендикулярности: ные связки с различными носителями. Точ­ А А + В , В + С С = 0. (5) ки пересечения каждого луча любой из них В нормальном ур-ии плоскости с соответствующей плоскостью другой обра­ х cos a + ? cos /J + я cos у — p = 0 / (6) зуют одно и то же геометрич. место, назы­ параметрами служат длина перпендикуля­ ваемое П . 2-го порядка. ра р, опущенного из начала координат на О б щ и е с в о й с т в а . Уравнение П . 2-го порядка плоскость, и направляющие косинусы это­ го перпендикуляра. Чтобы привести общее а х + а у + a^z + 2а^у + Za^yz + ур-ие . плоскости (1) к нормальному виду, + 2a zx ~ 2а х + 2а, у - 2a z + « « 4 = 0 2 2 x a x 2 3 I " >*> D B { 2 2 < > А х x 2 A а 2 w Х % 2 Х 2 гЛ 2 22 2 2 :n и 4 3i