* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

863 ПОВЕРХНОСТЬ 864 2-й степени относительно координат и со­ держит 10 коэф-тов, т. е. 9 независимых па­ раметров, почему эта П . определяется 9 ус­ ловиями, напр. 9 заданными точками или 9 касательными плоскостями ее. П . 2-го порядка в то же время и 2-го класса, от­ куда следует: 1) со всякой прямой она пере­ секается в двух точках действительных или мнимых, лежащих на конечном расстоянии или в бесконечности, раздельных или слив­ шихся; прямая, имеющая с П . 2-го порядка более двух общих точек, целиком принадле­ жит ей (прямолинейная образующая). 2) Че­ рез каждую прямую пространства проходит не более двух плоскостей, касательных к П . 2-го порядка. Произвольная плоскость пере­ секает ее по коническому сечению (см.), дей­ ствительному или мнимому. Сечения парал­ лельными плоскостями — подобные и по­ добно расположенные кривые 2-го порядка. Касательная плоскость пересекает П . 2-го порядка по коническому сечению, распавше­ муся на пару действительных или мнимых прямых, пересекающихся в действитель­ ной точке (точка прикосновения касательной плоскости); если же кривая пересечения распадается на пару слившихся прямых, точка прикосновения становится неопреде­ ленной и касание происходит вдоль всей этой прямой (конус и цилиндр). В случае П . 2-го порядка для любой точки Р (а, Ь,с) про­ странства (полюс) полярная П . представляет плоскость, ур-ие к-рой: a(a x + а у + a z + а ) + Ъ(а х+а у + a z+ + <%) 4- с(а ж + а у + a z + a ) + + (a x + a y + а 2 + а ) = 0 и к-рая называется п о л я р н о й относи­ тельно данной П . Д л я всякого луча, прохо­ дящего через полюс, точки встречи с П . гар­ монически сопряжены (см. Конические сече­ ния) с полюсом и с точкой пересечения луча с полярного плоскостью. Если полюс пере­ мещается по прямой, полярная плоскость его вращается около нек-рой другой прямой; свойство это взаимно, почему прямые эти называются в з а и м н ы м и п о л я р а м и . Если полюс перемещается в некоторой пло­ скости, полярная плоскость его вращается вокруг неподвижной точки, полюса первой плоскости. Если полюс лежит на самой П . 2-го порядка, полярная плоскость обращает­ ся в касательную. Если из 4 точек каждые 3 лежат в полярной плоскости 4-й, они яв­ ляются вершинами так наз. полярного тет­ раэдра; каждая пара П . 2-го порядка имеет нек-рый общий полярный тетраэдр. Полюс бесконечно удаленной плоскости называет­ ся центром П . 2-го порядка; все ее хорды делятся в нем пополам; он удаляется в бес­ конечность, если П . касается бесконечно удаленной плоскости (параболоиды). Через центр проходят 3 главные плоскости, к-рые перпендикулярны к направлениям их бес­ конечно удаленных полюсов и которые пере­ секаются по 3 главным осямП.Главные плос­ кости являются плоскостями, а главные оси— осями симметрии П . 2-го порядка. Коорди­ наты центра определяются из системы ур-ий: L1 У2 13 1 4 2Х 22 23 31 32 33 3i iX i2 4 3 4 4 К л а с с и ф и к а ц и я . Если поместим начало прямоугольной системы координат в центре П . 2-го порядка и совместим коор­ динатные плоскости с главными ее плоскос­ тями, получим к а н о н и ч е с к о е ур-ие П . , содержащее только члены с квадратами координат и свободный член. Коэф-ты этого ур-ия выражаются через полуоси П . a, b и с. В зависимости от знаков коэф-тов и от обращения нек-рых из них в нуль, ур-ие это изображает различные типы ц е н т р а л ь ­ н ы х П . 2-г о п о р я д к а . 1) Все 4 коэф-та одного знака: Э2 С + + У 2 Z2 - 1 —мнимый эллипсоид. 2) Знак свободного члена противоположен знаку остальных: ж" , Т/ • z а 2 ~ Ь2 —действительный эллипсоид (фиг. 1). Вся П . лежит на конечном расстоянии; всякая плоскость пересекает ее по эллипсу дейст­ вительному или мнимому. 3) Знак свободно­ го члена противоположен знаку лишь двух остальных: —однополый гиперболоид (фиг. 2). П . со­ стоит из одной полости, неограниченно про­ стирающейся в обе стороны; произвольная плоскость пе­ ресекает ее по действитель- С * 2 = 1 Фиг. 1. Фиг. 2 . ному конич. сечению. 4) Знак свободного члена противоположен знаку лишь одного из остальных: « А , У 2 а а "г Ь2 " _ z С 2 2 = _ 1 —двуполый гиперболоид (фиг. 3); он состоит из двух бесконечных полостей; произволь­ ная плоскость пересекает П . по действительному или мни­ мому, коническому сечению. 5) Свободный член равен ну­ лю— к о н у с ы 2-го по­ р я д к а : а) Все оставшиеся коэфициенты одного знака: X* , 1/2 "Т~ 22 "Т~ 0.2 {,2 С* О —мнимый конус. Единствен­ ная действительная точка по­ Фиг. 3 . верхности—центр ее (0,0,0), лежащий в вершине конуса, б) Оставшиеся коэф-ты разных знаков: =0 —действительный конус; он неограниченно простирается в обе стороны; всякая пло­ скость пересекает его по действительному конич. сечению. Если в уравнении конуса и в ур-иях однополого и двуполого гиперболонz 8 х 2 . у¬ а х + а у + az + a = 0 ] а х + а у + a z + а =0 [• а ж + а у + a z + а =О J 1Х 2Х 12 lz Xi 22 23 24 31 32 33 и