* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

226 ГЛ. 1И. ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [3.1 Существование среднего значения позволяет доказать для п.-п. функций на группах равенство Парсеваля, теорему единственности для рядов Фурье, теорему аппроксимации и др. Подробно с этим можно познакомиться в монографии [2], гл. V I . § 3. Аналитические п.-п. функции 3.1. Определение аналитических п.-п. функций и их простейшие свойства. 1. В теории аналитических п.-п. функций основной областью изменения аргумента является полоса. В связи с этим условимся в определенной терминологии. Через (а, Ь) мы будем обозначать открытый интерЧерез [а, Ь]—замкнутый интервал а^х^Ь. вал а<^х<^Ь. Будут также встречаться интервалы (а^ b], [а, Ь). Пусть s = a~-it—комплексная переменная. Множество всех 5, для которых о = о , мы будем называть прямой линией, вертикальной прямой линией или просто ли~ нией о = а . Множество всех s, для которых о принадлежит интервалу (а, Ь), мы будем называть полосой (а, Ь). Будут также встречаться полосы [a, b], [a, b), (а, Ь. 2. О п р е д е л е н и е 1. Действительное число т называется &-почти-периодом аналитической в полосе (о, р) функции / ( s ) , если во всех точках полосы (а, Р) выполняется неравенство 0 0 | f(s) / ( 5 + h ) _ / ( 5 ) | < e . Обозначим множество всех е-почти-периодов функции (в рассматриваемой полосе) через Е {г; f(s)}. О п р е д е л е н и е 2. Функция / ( 5 ) называется п.-п. в полосе (а, Р), если для каждого s^>0 множество E{s; f(s)} относительно плотно. Аналогично можно определить почти-периодичность в полосе [а, р|*). Т е о р е м а 1. П.-п. в полосе [а, Р] функция f(s) ограничена в этой полосе. *) При этом мы требуем, чтобы /(s) была регулярна в полосе (а, р) и непрерывна в полосе [а, р].