* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

2.6] § 2. ОБОБЩЕНИЯ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 225 Если сверх указанных четырех аксиом выполнено еще условие аЬ = Ъа для любых элементов a,b ? G, то группа называется коммутативной или абелевой. Примером абелевой группы может служить действительное «-мерное векторное пространство R , в котором элементами группы являются векторы (или точки, отождествленные с концами векторов), а групповое умножение совпадает со сложением векторов. В качестве примера некоммутативной группы приведем пример группы всех вращений единичной сферы в трехмерном пространстве. О п р е д е л е н и е . Функция f(x) (х ? G,f(x) принимает комплексные значения) называется почти-периодической на группе О, если семейство функций f(xa), a^G (или, что эквивалентно, семейство /(ах)) условно компактно в смысле равномерной сходимости на G, т. е. из каждой бесконечной f(xa%), . . . можно выбрать равпоследовательности f(xa ), номерно сходящуюся подпоследовательность. Теория п.-п. функций на группах развивается во многом аналогично теории п.-п. функций на прямой (прямая линия, очевидно, также является группой, в которой групповая операция совпадает с обычным сложением). При этом основную трудность представляет доказательство следующей теоремы. Т е о р е м а о с р е д н е м з н а ч е н и и . Для каждой п.-п. функции f(x) (х ^ G, G— группа) существует однозначно определенное число М {/(х)} (среднее значение функции f(x)), которое обладает следующими свойствами: 1) М {a f (х)} = а М { / (ЛГ)} (а — комплексное число); 2) М {/(х) ± g(x)} = М {/(х)} zt М {g(x)Y 3) М \) = \ 0, то М {/(х)} ^ 0; 4) если на всей группе G если f(x)^0 и ЙО крайней мере в одной точке лг ? G / ( * « ) > 0, то М , { / ( л г ) } > 0 ; 5) M {f(x)}^M {f(x)}& 6) М {f(x)} = М {/(х)} (черта означает переход к комплексно-сопряженним значениям); 7) M {f(xa)} = M {f(ax)} = M {f(x)} для произвольного элемента а ? G; S) M {f(x- )}=M {f(x)}. n x х х х х х х х х 0 x x f х х x x x 1 x x