* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.1] § 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 227 Т е о р е м а 2. Пусть f(s) регулярна в полосе (а, р) и ограничена в любой полосе [<х р,], (a<^aj < ^ p <[Р)- Предположим, что на некоторой прямой а = а (а < ^ а <^ p)/(s) ес/гса равномерная п.-п. функция. Тогда f(s) — п.-п. функция в полосе [a p ] . З а м е ч а н и е . Эта теорема неверна, если условие ограниченности в любой полосе [a , pj| не выполняется. Т е о р е м а 3. Сумма и произведение п.-п. в любой полосе [ 0 4 , p ] (a <^ 0 4 <^ PJ < ^ р) функций обладают этим же свойством. N ь t 0 0 h t t t С л е д с т в и е . Многочлен 2 n!^ (К — действительные числа, а — комплексные числа) есть п.-п. функция в полосе (— оо, оо). Т е о р е м а 4. Равномерный предел последовательности аналитических п.-п. в любой полосе [a Pi] ( a < ^ a < ^ p < ^ p ) функций {f (s)} есть п.-п. функция в полосе [а р^. С л е д с т в и е . Сумма равномерно сходящегося в любой a nS п h 1 1 n и оо полосе [a , pi] ( a < С i < С P i < С Р ) Р a t я д а 2 л=1 &(К действи- тельны) есть п.-п. функция в этой полосе. Т е о р е м а 5. Производная п.-п. в полосе [a P i ] ( a < [ < C a < ^ p < ^ p ) функции—также п.-п. функция в этой полосе. Т е о р е м а 6. Если неопределенный интеграл F (s) п.-п. в полосе [ а p ] функции f(s) ограничен в этой полосе, то он является п.-п. функцией в той же полосе. Т е о р е м а 7. Пусть F (s) — п.-п. функция в полосе (а, р). Обозначим через G множество всех значений функции f(s) на прямой о (а < ^ о < [ р). Какое бы ни было 8^>0, функция f(s) принимает в полосе ( о — 8 , а - | - 8 ) все значения из производного множества О&. С л е д с т в и е 1. Если функция / ( s ) п.-п. в полосе (а, р) и не обращается в этой полосе в нуль, то inf | / ( s ) | ^ > 0 в любой полосе [са Pi] (a <С i <С Pi <С Е0С л е д с т в и е 2. Если f(s)—п.-п. функция в любой полосе 1 1> Pi] ( <С i <С Pi <С Р) /( ) О полосе (а, р), то ? • ( 5 ) = ^— есть п.-п. функция в любой полосе [a p j . h 1 1 ь t 0 0 0 0 a и а а a и s в lt