* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
220
ГЛ. I I I . ПОЧТИ-ПЕРЙОДЙЧЕСКЙЕ ФУНКЦИЙ
p p
[2.3
Т е о р е м а 3. S -n.-n. функция f(x)S -равномерно прерывна, т. е. для любого е ] > 0 существует 8 = 8 (е), что если h | < ^ 8, то
нетакое
D p[f(x
s
+ h),
p
/(*)]. есть S -n.-n.
p
Т е о р е м а 4. Сумма двух S -n.-n. функций функция. Теорема 5. Произведение S -n.-n. функции
p n
на
S -n.-n.
9 p
функцию (— 4- — = 1) есть S-n.-n. функция *). Т е о р е м а 6. Если последовательность f (x)} S -n.-n. функций сходится (в метрике S ) к функции f(x то предельная функция также является S -n.-n. О п р е д е л е н и е 3. Суммируемая вместе со своей /7-й степенью в каждом конечном интервале функция f(x) называется S -нормальной, если семейство функций {f(x--h) (h—произвольное вещественное число) ^-компактно, т. е. если из каждой бесконечной последовательности f(x--h ), f{x--h^), ... можно выбрать S -сходящуюся подпоследовательность. Т е о р е м а 7. Для того чтобы функция f(x) была S -нормальной, необходимо и достаточно, чтобы она была S -n.-n.
p p
p t p
p
p
2.3. Определение и простейшие свойства п.-п. функций Вейля. В теории п.-п. функций Степанова существенно, что число /, фигурирующее в определении расстояния, фиксировано. Напротив, для п.-п. функций Вейля существенно, что с убыванием е до нуля число / растет до бесконечности. О п р е д е л е н и е 1. Величина**)
D P{f,g}=
w
lim
{/,?} *
=
l -> оо
= lim
sup
называется W-расстоянием порядка p.
*) Вместо S мы пишем S. **) Можно показать, что этот предел всегда существует.
1