* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

218 ГЛ. I I I . ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [2.1 Т е о р е м а 4. Если ни одна из однородных систем семейства Н (Z ) не имеет решения, абсолютное значение которого может становиться сколько угодно малым (за исключением тривиального решения), и если система (S ) имеет ограниченные решения, то хотя бы одно из них состоит из равномерных п.-п. функций. Из последней теоремы легко вывести, что каждое ограниченное решение дифференциального уравнения x x у (») + Л 1 у » - 1 ) + ... ь я +ая у=Дх) п с постоянными коэффициентами а а , а и равномерной есть равномерная п.-п. функция. п.-п. правой частью f(x) § 2. Различные обобщения п.-п. функций 2.1. Вводные замечания. О п р е д е л е н и е 1. Равномерной называется величина 1/1 = sup —оо< <оо нормой функции f{x). f(x) Очевидно, равномерная норма конечна только для ограниченных функций. О п р е д е л е н и е 2. Величина P. ( / . g ) = l / - i t (2-1) называется расстоянием между функциями f(x) и g(x). Тем самым совокупность ограллченных функций становится м е т р и ч е с к и м п р о с т р а н с т в о м . Сходимость в этом пространстве совпадает с равномерной сходимостью на всей числовой оси. Основную теорему теории равномерных п.-п. функций можно сформулировать следующим образом: Множество всех равномерных п.-п. функций совпадает с замыканием множества всех конечных тригонометрических сумм по расстоянию (2.1). Различные обобщения понятия п.-п. функций на разрывные (интегрируемые по Лебегу) функции основаны на том, что в пространстве функций, определенных на всей числовой прямой, можно по-разному определять расстояние.