* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

7.1] § 7- ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ В&БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 187 •х^о S ^> всегда существует элемент y ? Я, осуществляющий наилучшее приближение элемента х на множестве Е; при этом если пространство R строго нормировано, то этот элемент единственный. Напомним, что линейное нормированное пространство называется строго нор миро ванным, если из соотношения Q 0 1 « + * 1 = М + И следует, что Ха = |х?, Х:>=0, ^ ^ 0 , X - f - p ^ > 0 . Примером строго нормированных пространств являются пространства L при 1 <^р <^ сю, в частности гильбертово пространство 1 - Это обеспечивает в них для соответствующих случаев единственность наилучших приближений. Пространства Ц и С не являются строго нормированными. Тем не менее, как мы видели выше, и в этих пространствах для ряда важных случаев имеет место единственность элемента, осуществляющего наилучшее приближение (см. также п. 7.3). Пусть теперь Н—гильбертово пространство, Е—некоторое его подпространство, х ? Н. Элемент у ? Е является элементом наилучшего приближения элемента XQ в подпро?Е странстве Е тогда и только тогда, когда для любого у имеет место равенство n 2 0 й (Хо—Уь У) = 0. Отсюда сразу следует, что элемент наилучшего приближения в гильбертовом пространстве линейно зависит от приближаемых элементов, т. е. если у ? Е является элементом наилучшего приближения в Е элемента х ? Я, a _yj ? Е является элементом наилучшего приближения в Е элемента х& ? И, то при любых числах X и X& элемент у -- Уу& является элементом наилучшего приближения в Е элемента 0 0 9 0 0 X? — X&XQ, JQ — | Если Е—конечномерное подпространство гильбертова пространства и { е . . . , е ] — его базис, то из сказанного выше следует также, что д л я & любого элемента х ? Н существует, и притом единственный, элемент у ? Е, осуществляющий наилучшее приближение заданного элемента х на ъ п 0 0 0