* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

186 ГЛ. П. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [7.1 (соответственно v,) пробегают лишь возрастающие геометрии ческие прогрессии. Сформулированные теоремы содержат в себе, очевидно, как частный случай соответствующие результаты п.п. 3.7,3.9 и 5.2. Аналогичные Еопросы для приближения функций многих переменных алгебраическими многочленами изучены значительно менее полно. Плохо изучены в настоящее время и асимптотические поведения отклонений приближений для того или иного линейного метода аппроксимации функций какоголибо класса. Это относится также и к другим вопросам приближений, рассмотренным нами для функций одного переменного. Отдельные сведения по этим вопросам можно найти, например, в [1], [3], [8] и [12]. § 7. Теорий приближений в банаховых пространствах 7.1. Общие понятия. Наилучшие приближения в гильбертовых пространствах. Метод наименьших квадратов построения наилучших приближений. Пусть R— метрическое пространство, Е—его подмножество, х — фиксированный элемент пространства R; как обычно, по определению 0 р(х , 0 Е)— inf р(лг , х) 0 (p(jc , Е) называется отклонением или расстоянием мента Хц от множества Е). Если существует элемент y ? Е такой, что 0 Q эле- р ( х , Е) — р(х , Уо)> 0 0 то элемент у называется элементом, осуществляющим наилучшее приближение элемента х на множестве Е. Если множество Е компактно и замкнуто, то, каков бы ни был элемент дг ^ R, всегда существует элемент у ? Е, осуществляющий наилучшее приближение элемента х на множестве Е. Пусть R — линейное нормированное пространство. Если множество ECZR является линейным конечномерным подпространством пространства R, то, каков бы ни был элемент 0 0 0 0 9