* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.8] § 3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 149 лируем здесь сначала эти результаты. Начнем с обобщения теоремы Д. Джексона, принадлежащего А. Ф. Тиману. Т е о р е м а 1 (А. Ф. Т и м а н). Пусть задано число k (? = 0 , 1 , 2, . . . ) и f{x)^C [a, Ь]. Тогда для любого п = 0, 1, 2, . . . существует многочлен Р(х)?9$ такой, что для любого х ? [а, Ь] имеет место неравенство {k) п f(x)-P(x) с Т п X — а+Ъ х f (*) У(Ь— х)(х — о) + + п а+Ь п l[Y(b-x)(x-a) где постоянная с не зависит ни от п, ни от х. Мы видим, что в отличие от теоремы Д. Джексона для периодического случая (см. п. 3.7) *) приведенная оценка приближения функции многочленом зависит от положения точки х на отрезке. Только такого рода оценки и позволяют в непериодическом случае для некоторых классов функций обратить теорему 1 (см. ниже теорему 3). Впервые результат, подобный теореме 1 и являвшийся качественно новым для своего времени, был получен в одном важном случае С. М. Никольским. Для формулировки дальнейших результатов по аналогии с классами определим для непериодического случая классы # . Пусть г ^ > 0 , г = Г - | - а , Г—неотрицательное целое число, 0 < ^ а ^ 1 . Функция f(x) называется функцией класса Н на отрезке [а, Ь], если / ( x ) ^ C а, Ь] и существует постоянная Ж ^ > 0 такая, что в случае 0 < [ а < ^ 1 имеет место ( г ) (г) ( r ) f (x {7) + h)—f (x) F) ^Mh\ h)^Mh а в случае а = 1 f(r) { х + п ) справедливо _ 2/ ) _(_/(.* — {х y где xQa, b], x±h^a, Ь]. Т е о р е м а 2 (А. Ф. Т и м а н — В. К. Д з я д ы к ) . Пусть функция f{x) является функцией класса / У на отрезке (г) *) А также в отличие от соответствующей теоремы Джексона для непериодического случая, которую мы здесь не приводим.