* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

150 ГЛ. П. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [3.8 la, Ь. Тогда для любого я = 0, 1 . . . существует член P (x)Q9j$ такой, что n n много- /(х) -Р ( )^±. я х {[у -а)(Ь-х)У+±, {х где постоянная с не зависит ни от п, ни от х*). Для этой теоремы имеет место и обратная теорема, аналогичная теореме С. Н. Бернштейна для периодического случая (см. п. 3.8). Т е о р е м а 3 (В. К. Д з я д ы к ) . Пусть задано г ^ > 0 , пусть функция f(x) определена на отрезке [а, Ь и пусть для любого /z = 0, 1, 2, . . . существует многочлен P ( )&vn опокой, что для всех х?[а, и] имеет место неравенство x n I/O*)-Р„(х)|<±г где постоянная Тогда [У( -а)(Ь-х)] Х + х. , с не зависит ни от п, ни от Теоремы 2 и 3 в совокупности дают необходимое и достаточное условие принадлежности функции f(x) на отрезке выраженное через оценку скорости [а, Ь к классу Н приближения функции f(x) многочленами степени л, однако в отличие от периодического случая эти оценки зависят не только от степени приближающего многочлена, но и от положения точки на отрезке; тем самым в это условие не входит понятие наилучшего приближения Е^ ( / ) , хотя по своей идее оба условия довольно тесно связаны. Обобщения теорем 1 — 3 с помощью оценок отклонений функций от аппроксимирующих их многочленов через модули непрерывности получены А. Ф. Тиманом [19]. Отметим неравенства для алгебраических многочленов, полученные А. А. Марковым и С. Н. Бернштейном и уста{г п *) Пусть г = Т -f- a, Г — неотрицательное целое число, 0 <с а ^ 1. Георема 2 при 0 <с a < 1 доказана А. Ф. Тиманом, а при а = 1 В. К. Дзядыком.