* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

148 ГЛ. 1Г ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [3.8 задан некоторый класс непрерывных периодических функций; возникает вопрос: можно ли что-либо сказать в целом о саойствах многочленов наилучших приближений функций данного класса на основании тех или иных свойств самих функций указанного класса. Не меньший интерес представляет, конечно, и обратная задача. Отметим в качестве примера один из подобных результатов. Для функции f(x) ? CI* обозначим через Т% (х; f) тригонометрический многочлен наилучшего приближения степени не выше чем п: Т% (х; /) ? % , и для любого а, 0 < [ а < ^ 1 , для простоты положим по определению Up%v. = Н 1 (М). Т е о р е м а 11 (С. Б. С т е ч к и н ) . Для того чтобы функция fix) принадлежала классу Lip$fa, 0 <^ а ^ 1, неп { ] обходимо и достаточно, чтобы нашлась с ^ > 0 , не зависящая от п, такая, что Тп (х; / ) ? Lip*M а постоянная для всех п=, 2,... я Сведения о других результатах и дальнейшем развитии теории наилучших приближений функций класса С | можно найти в [1], [3), [4], [7], [8], [11], [12]. 3.8. Наилучшие приближения непрерывных и дифференцируемых функций алгебраическими многочленами данной степени. В непериодическом случае вопрос об оценке порядка наилучших приближений функций с помощью алгебраических многочленов значительно сложнее аналогичной задачи для периодического случая, рассмотренного в предыдущем пункте. Первоначально в работах Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, А. Зигмунда, П. Монтеля ряд задач о характеристике гладкости функции в терминах наилучших приближений был исследован не для всего отрезка [а, Ь], на котором задана рассматриваемая функция, а только для любого внутреннего отрезка [а!, Ь&, лежащего в интервале (а, Ь). Лишь в самое последнее, время благодаря результатам, полученным С. М. Никольским, А. Ф. Тиманом и Б. К. Дзядыком, здесь удалось получить в известном смысле законченное решение определенного круга вопросов, причем это оказалось сделанным не в терминах наилучших приближений Е^ (/), однако в довольно близких к ним по идее. Мы и сформу-