* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

§.6J § ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 103 так как для одной и той же функции / ее нормы в пространствах М и L будут различны. Сильная сходимость в М означает равномерную сходимость почти всюду. Можно рассматривать также пространство V функций ограниченной вариации, если расстояние определить равенством ь p f o y)=V(x — У). p Пространства М и V будут нормированными, элемента х определить норму равенствами l * | U = sup vrai I лг (/> |, если для a Пусть x (t) — измеримая функция, определенная на отрезке [0, 1]. Построим множество Е таких действительных чисел е, что множество точек г ? [ 0 , 1], для которых |дг(^)|^>е, имеет меру, не превосходящую е. Множество Е во всяком случае содержит число е = 1 , а потому не пусто. Введем обозначение ц (х) = inf Е . Множество 5 всех функций, измеримых на [0, 1], будет метрическим пространством, если определить расстояние между элементами х, y?S равенством р(х, у) = во (лг у). х х х Пространство 5 называют пространством измеримых функций. Его называют также пространством сходимости по мере, так как сходимость в пространстве S означает сходимость по мере. Пространство *S, в отличие от всех рассмотренных выше пространств, н е н о р м и р у е м о , т. е. в нем нельзя ввести норму I л: ||s так, чтобы сходимость по этой норме была эквивалентна сходимости по мере. В частности, ц(х) нельзя принять за норму, поскольку для этой функции нарушена аксиома б). Отметим, что все рассмотренные пространства С, C^ LP, V, М, S являются полными пространствами. k