* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

92 ГЛ. I . ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [8.3 Кроме меры Лебега, для пространственных множеств используется иногда ^-мерная мера Хаусдорфа, которая определяется следующей конструкцией. Пусть Е— множество я-мерного пространства R , а — конечная система я-мерных шаров, покрывающих Е, диаметры которых не превосходят данного 8, и ? d означает сумму диаметров сфер, принадлежащих системе о. Тогда предел n 5 lim inf %&d = 6-+0 v (E), 1 где нижняя грань берется по всем возможным системам а, всегда существует, хотя и может оказаться бесконечным. Величину Vj (Е) называют линейной мерой Хаусдорфа или длиной по Хаусдорфу я-мерного множества Е. Для получения плоской (двумерной) меры Хаусдорфа вместо ? d t следует брать 2s ~f~ > * « сумму площадей двумерных больших кругов. Аналогично можно определить меру Хаусдорфа k ^ я. Ясно, что если v (Е) любой размерности k для 1 конечно и отлично от нуля, то v (E) = 0 при m^>k v (E) и v (Е) — со при m<^k. т е ft k m m 3. Пусть М = (х JC 0 , имеем ъ п n n т т т 0> т 0 lim -* f(M )=f(M ). m 0 Если функция f(M) задана и непрерывна на замкнутом замкнуты множестве F, то множества Е { а } и Е { а } при любом а. Функция f(M) называется измеримой на множестве Я, если измеримо (по Лебегу) Е и измеримы множества Е {f^> а} при любом а. В частности, функция, заданная и непрерывная на замкнутом параллелепипеде, измерима. Для измеримой функции я переменных справедливы теорема Э. Бореля и теорема Н. Н. Лузина о С-свойстве (см. § 3, п. 5),