* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

8.4] § 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 93 Функция двух переменных f(x, у) называется дифференцируемой в точке (х , у ), если существуют такие числа А п В, что отношение й 0 / (*, у) — / (*0> 0 ) — А(х — + 0 0 0 ) — В (у —у о) У(х~-х у 0 (У-Уо)" 0 стремится к нулю при (х,у) (х ,у ). Выражение А (х — х ) -f-f- В (у —Уо) или пару чисел {А, В} называют точным полным дифференциалом функции / в точке (х , у ). В этом случае числа А и В суть частные производные функции f(x, у) в точке (лг , у ) соответственно по х и по у. Если это отношение при некоторых А и В стремится к пределу асимптотически*), то пару { Л , В} называют асимптотическим дифференциалом функции f(x, у) в точке (Х о .Уо)> • Г> числа А и В — коэффициентами асимптотического дифференциала. Т е о р е м а В. В. С т е п а н о в а . Для того чтобы ко0 0 0 0 а нечная функция двух переменных f(x, у), измеримая на множестве Е, была асимптотически дифференцируема почти во всех точках Е, необходимо и достаточно, чтобы почти всюду на Е она была асимптотически дифференцируема по каждой из переменных. Если f(x, у) асимптотически дифференцируема почти всюду на Е то коэффициенты асимптотического дифференциала почти в каждой точке Е совпадают с асимптотическими частными производными /хх, у), fyx, у у 4. Пусть функция двух переменных f(x, у) определена и непрерывна на прямоугольнике Sia^x ^b, c^y^d). Множеством уровня E функции f (x, у) мы назовем множество тех точек 5, в которых f{x, y) — t, t E = E{f(x,y) t = t. Из непрерывности f(x, у) следует, что все множества Е^ замкнуты. Замкнутое множество называют связным, если оно не может быть разбито на сумму двух замкнутых, попарно не пересекающихся множеств. Если замкнутое множество не *) То есть существует плоское множество положительной меры, имеющее (лг , у ) точкой плотности относительно двумерной меры Лебега, по которому существует предел в обычном смысле. 0 0