* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

8.2] § 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 91 мы будем называть внешней ства Е и писать n-мерной мерой Лебега множе- mE = e mfv(G). если Множество Е называют измеримым, m E--m CE=v(S), e e где СЕ означает дополнение множества Е до параллелепипеда б , СЕ =S — Е. Значение внешней меры и называют 1 n-мерной мерой чину Лебега i измеримого e множества Е. Вели- m E=v{S)~m CE называют внутренней n-мерной мерой Лебега множества Е. Она может быть определена также как верхняя грань объемов замкнутых множеств F, содержащихся в Е, m E = sup v (F), t FQ.E. Пусть Е — плоское множество, состоящее из точек (х, у). Сечением множества Е прямой x = x будем называть лисостоящее из таких чисел у, что нейное множество E(x ), точка (лг , у) ? Е. Плоская мера Е связана с линейной мерой своих сечений. Именно, справедлива следующая теорема: Q Q 0 Пусть Е — плоское множество, содержащееся в открытом прямоугольнике S(a<^x<^b, c<^y<^d). Тогда а) почти для всех х ? (а, Ь) множество Е (х) измеримо; б) если А означает множество тех х ? (а, Ь), для которых Е (х) измеримо (/иА = Ь — а), то функция тЕ (х) измерима на Д; в) справедлива формула тЕ = ^ тЕ (х) dx, А где интеграл следует понимать в смысле Лебега. Из этой теоремы вытекает, что если плоское множество Е меры нуль, то почти все его сечения суть множества меры нуль. Наоборот, если почти все сечения плоского измеримого множества Е имеют меру нуль, то и тЕ = 0. Эта теорема переносится также в пространстве R > n на случай множества