* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
5.7]
§
5.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ФУНКЦИЙ
67
ции, производная которой равна &данной, дескриптивно. Дескриптивное определение называют также аксиоматическим. Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции можно определить дескриптивно следующим образом. Поставим в соответствие каждой ограниченной измеримой функции f(x), определенной на каком-либо конечъ ном отрезке [а, Ь], некоторое конечное число ^ f(x) dx, которое мы будем называть интегралом от f(x) и которое обладает следующими свойствами: 1. Каковы бы ни были а, Ь и Н, имеем
b+ h *
по [а, Ь]
^ fix)
a
dx=
^ f(x
a+h
— h) dx. имеем dx == 0.
b
2. Каковы
b
бы ни были а, Ь, с, dx + f(x)
b b
9
f(x)
a
dx + f(x)
3.
b a
5 [/(•*) +
( )] dx = ^ /{x)dx
x
- j - ^
a, mo ь f(x)dx^0.
a
5.
о
l ^ 1 dx=
1.
б. Если с возрастанием n ограниченные измеримые функции f ix) стремятся, возрастая, к ограниченной измеримой функции fix), то интеграл от f (x) стремится к интегралу от f(x). Ясно, что определенный в п. 3 конструктивно интеграл Лебега обладает указанными шестью*) свойствами. Замечаn n
к пределу под знаком интеграла и будет подробно рассмотрено в § 6. 3»
*) Выполнение свойств 1—5 следует из теорем пп. 3, 4. Что касается свойства б, то оно относится к возможности перехода
