* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

68 ГЛ. I. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [6.1 тельно, однако, что справедливо и обратное. Именно, как показал Лебег, если интеграл обладает свойствами 1—6, то он может бить получен конструкцией, описанной в п. 3. Поэтому свойства 1—6 называют дескриптивным определением интеграла Лебега * ) . Возможность дескриптивного определения интеграла показывает, что интеграл Лебега является, так сказать, наиболее естественным и разумным интегралом для функции одной переменной. Дальнейшие обобщения понятия интеграла, которые приходится рассматривать в связи с той или иной частной задачей, не носят уже такого общего характера. 8. Понятие интеграла допускает обобщение на случай неограниченных множеств. Пусть Е—произвольное множество, лежащее на прямой. Обозначим . через Е пересечение множества Е с интервалом (—а, а), Е = Е(~(—а, а). Предположим, что все множества Е (а^>0) измеримы. Функция f(x) называется суммируемой на Е, если она суммируема на каждом множестве Е и существует конечный предел lim f{x)dx. Для суммируемой функции полагают а а а а -* g Е —*- Из этого определения вытекает, что для интеграла по неограниченным множествам сохраняют силу основные свойства интеграла Лебега. § 6. Последовательности функций 1. Пусть {/ (х)} — функциональная последовательность, все члены которой определены на одном и том же множестве Е. Будем рассматривать в дальнейшем только ограниченные множества Е. Говорят, что последовательность сходится в точке х ? Е, если сходится числовая последовасходимости тельность { / (х )}. Точку х называют точкой всех данной последовательности функций. Множество Е (2Е п й п 0 0 г *) Как указал впоследствии Н. Н. Лузин, формулировки аксиом Лебега нуждаются в некоторых уточнениях и дополнительных условиях; тем не менее эти аксиомы и в уточненном виде не выводят за пределы класса суммируемых функций.