* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

5.5] § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 65 Легко проверить, что f(x) — неубывающая и непрерывная функция. Ее производная существует всюду, кроме точек канторова множества, т. е. почти всюду на [0, 1]. Однако j/&(0^/0)-/(0), 1 потому что / ( 1 ) = 1 , / ( 0 ) = 0, a f(t)dt = Q ибо f(t) > = 0 почти всюду. Итак, функция f(t) не равна интегралу от своей производной. Отсюда, между прочим, следует, что f(x) не является абсолютно непрерывной санкцией, л. м 1J Интеграл Лебега от производной может быть использован для нахождения полной вариации абсолютно непрерывной функции. Именно, если f(x) суммируема на [а, Ь] и F(x)=/(t)dt ТО X > т. е. полная вариация абсолютно непрерывной функции равна интегралу от модуля ее производной. Обычные формулы замены переменных и интегрирования по частям для интеграла Лебега справедливы при некоторых дополнительных условиях. Если f{x) суммируема на отрезке [а, Ь] и x = y(t) принимает значения лишь из [а, Ь то 6 в f(x)dx = а f[^(l)]^(t)dt t где а = ср(а), ? = с р ( { } ) . Эта формула имеет место, например, для случая, если абсолютно непрерывная функция y(t) строго монотонна на [а, р]. 3 Р. С. Гутер и д р .