* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

5.5J § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 63 непрерывная функция, что легко следует из теоремы об абсолютной непрерывности интеграла, приведенной в п. 4. В силу теорем п. 2 § 4 неопределенный интеграл Лебега имеет почти всюду конечную производную, которая суммируема. Более того, производная неопределенного интеграла ЛеX бега F(x) = ^f(t)dt почти в каждой точке х ? [а, Ь) равна функции f(x). С другой стороны, всякая абсолютно непрерывная функция является неопределенным интегралом Лебега от своей производной, т. е. для абсолютно непрерывной функции справедлива формула Ньютона — Лейбница ]f(t)dt=f(x)-f(a). Заметим, что эта формула может оказаться неверной даже для случая точной производной f (х), так как точная производная не обязательно является суммируемой функцией. Так, для функции /(*)= х* sin *• О при при лг^>0, ^ х — 0 точная производная существует, но не суммируема ни на каком отрезке, содержащем точку х = 0. Для справедливости формулы Ньютона — Лейбница достаточно наложить на точную производную некоторые дополнительные ограничения. Так, если производная f{x) существует в каждой точке и ограничена на отрезке, то f&