* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
62
ГЛ. I. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[5.5
00
римых
множеств, Е=
2^л>
А= 1
и функция f(x) f( )
x
суммируема оо, то f(x)
00
на каждом E .
k
Тогда если 25
оо
I dx<^--
суммируема
на Е и справедливо f(x)dx=
Е
равенство S
E
k
2
f( )dx.
x
Для суммируемых функций справедливы также следующие два свойства:
Если f(x) функция kf(x)
суммируема суммируема ^kf(x)dx
Е
на Е и k — постоянная, на Е и = k^f
Е
то
{x)dx.
Если f{x) и у(х) суммируемы на Е, то их сумма и разность также суммируемы на Е и
Е
J [f(x)
± : ср (х)] dx = ^ f{x) dx ±
Е
Е
J ср (х)
dx.
Особую роль для дальнейшего играет свойство абсолютной непрерывности интеграла Лебега, которое устанавливается следующей теоремой. Т е о р е м а о б а б с о л ю т н о й н е п р е р ы в н о с т и ин-
т е г р а л а Л е б е г а . Пусть функция f(x) суммируема на измеримом множестве Е. Тогда для всякого е ^ > 0 найдется такое Ь ^> О, что для всех множеств е(^Е с те<^Ь будем иметь
\f{x)dx<*.
Е
fix).
б. Пусть на отрезке [а, Ь] задана суммируемая функция
Неопределенным
интегралом
Лебега
функции
f(x)
называют всякую функцию F(x) = lf(t)dt где С—любая + C,
постоянная, а интеграл берется в смысле Ле-
бега. Неопределенный
интеграл
Лебега
есть
абсолютно