* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

5.4] § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 61 функция, суммируемая на множестве Е, суммируема и на всяком измеримом его подмножестве; на множестве меры нуль любая функция суммируема и интеграл ее равен нулю; если функции f{x) и cp(je) измеримы на множестве Е то из суммируемости f{x) вытекает и | ср (х) | ^/(х), суммируемость у(х); если функции f(x) и у(х) эквивалентны на множестве Е, то они одновременно суммируемы или нет; в случае суммируемости их интегралы по Е равны между собой. Для случая произвольной суммируемой функции полная аддитивность интеграла Лебега в такой общей форме, как это было сформулировано для ограниченных или неотрицательных функций, не имеет места. Здесь верна только Теорема о конечной аддитивности интеп г р а л а . Если множество Е представляется в виде суммы конечного числа попарно не пересекающихся измеримых множеств, Е= 2 E , и функция f{x) суммируема на каждом из множеств E , то она суммируема также и на Е и k k п f(x)dx= Е 2 E k f{x)dx. Тем не менее возможны также теоремы о полной адди* тивности интеграла Лебега, однако здесь требуются уже некоторые дополнительные ограничения. Полная аддитивность имеет место, например, в следующих случаях. а) Если функция f(x) суммируема на множестве Е, которое представляется в виде суммы счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств, Е~ 2 со E k> то оо f(x)dx= Е 2 k s = l E fix)dx. k б) Пусть множество Е представлено в виде суммы счетного множества попарно не пересекающихся изме*