* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

60 ГЛ. I . ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [5.4 интеграл от такой функции f(x), определенной и измеримой и /~(х), на измеримом множестве Е, введем функции / (х) положив + ( f(x 1 { Х ) если f(x)^0, , 0, если / ( * ) < 0 ; если f(x) ^ 0, если / ( л г ) < ^ 0 . Обе функции, f (x) причем + и / f(x)=f (x) + (лг), измеримы и неотрицательны, — f-(x). Естественно называть интегралом от функции f(x) разность ^&f (x)dx—^f~(x)dx. Эта разность, однако, не будет иметь + Е Е смысла в том случае, когда оба входящих в нее интеграла бесконечны. Поэтому мы называем эту разность интегралом от неограниченной функции f(x) лишь в том случае, когда и ^f~(x)dx коне¬ хотя бы один из интегралов ^f (x)dx + в + Е чен, т. е. хотя бы одна из функций / (х) и f"(x) суммиможет принимать как конечное руема. При этом ^f(x)dx значение, так и значение -- со или — оо. Если обе функции, / (х) и f~(x), суммируемы, то функция f(x) называется суммируемой (интегрируемой в смысле Лебега) и интеграл от нее полагается равным + J f(x) dx = f*(x) E E dx— E (x) dx. Измеримая функция f(x) суммируема тогда и только тогда, когда суммируема функция f(x). При этом / *)<**|<$ Е Е f(x)dx. Большинство свойств интеграла, справедливых для ограниченных или неотрицательных неограниченных функций, переносится и на общий случай. Так, например, суммируемая функция почти всюду конечна,