* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

5.4] § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 59 если тЕ^= 0, то любая неотрицательная функция суммируема на Е и ее интеграл по множеству Е равен нулю; если f(x) и ср(лг) — неотрицательные измеримые функции на Е и f(x)^y(x), то f(x)dx^^{x)dx, ) Е Е если f(x) неотрицательна и измерима жество Ei CLE измеримо, то f(x)dx^^ Е Ei на Е и подмно- f(x)dx; на Е, то f(x)dx~0 Е если f(x) Е Е и ср(лг) эквивалентны если / ( x ) d x = ср (х)dx; и f(x) функ- неотрицательна, то f(x) = 0 почти всюду на Е; если f(x) и ср(лс) — неотрицательные измеримые ции на Е и с^О — фиксированное число, то [/(•*) Е + 9 ( )] х d x = / *) Е Е *) dx > cf( ) x dx = с ^ f(x) Е dx. Е Важную роль играет в теории интеграла Лебега Т е о р е м а о п о л н о й а д д и т и в н о с т и . Пусть измеримое множество Е представлено в виде суммы конечного или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств k Тогда для всякой неотрицательной руемой на множестве Е, Е h E k ?=2 *? функции f(x), сумми- Перейдем теперь к рассмотрению неограниченных функций, принимающих значения любого знака. Чтобы определить *) Это равенство надо понимать в следующем смысле: если правая часть принимает конечное значение или -- оо, то и левая часть принимает то же значение или -|- °°» наоборот. и