* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

26 ГЛ. t. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [1.7 счетного валов множества попарно не пересекающихся интер- Если перейти к дополнениям, то можно утверждать, что всякое ограниченное замкнутое множество F либо есть отрезок, либо получается из некоторого отрезка вычитанием конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов F=[a, b]-%(a , k k b ). k Эти интервалы носят название дополнительных ных интервалов замкнутого множества F. или смеж- если оно 7. Множество Е называется совершенным, совпадает со своим производным множеством, Е = Е&. Очевидно, что совершенное множество замкнуто и не имеет изолированных точек. Наоборот, замкнутое множество, лишенное изолированных точек, является совершенным. Точку а называют точкой конденсации множества Е, если любая окрестность точки а содержит несчетное множество точек Е. Точка конденсации всегда является предельной точкой, но предельная точка может и не быть точкой конденсации. Всякое несчетное множество имеет бы одну точку конденсации, принадлежащую этому Непустое совершенное множество имеет континуума; мощность непустого замкнутого может быть либо континуум, либо счетная, ная *). Несчетное замкнутое множество всегда ется в виде суммы совершенного множества хотя мно- жеству. Полезно обратить внимание на различие между этим утверждением и теоремой Больцано — Вейерштрасса. мощность множества либо конечпредставляи не более *) Тем самым утверждается, что замкнутое множество не может иметь мощности, промежуточной между счетной и мощностью континуума. В настоящее время математики полагают, что множеств промежуточной мощности вообще быть не может, однако это обстоятельство пока не поддается доказательству. Такое утверждение в приведенной или в эквивалентной ему форме называют контину- ум-гипотезой.