* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

1.6] § 1. ЛИНЕЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА 25 имелись точки F, то а была бы предельной точкой для F и вследствие замкнутости F принадлежала бы F, но не CF. Следовательно, эта. s-окрестность должна целиком принадлежать CF. Итак, любая точка CF является внутренней, а значит, CF — открытое множество. Пусть теперь G открыто и а — предельная точка для множества СО. Тогда а не может принадлежать G, потому что в противном случае нашлась бы окрестность я, целиком входящая в О и не содержащая поэтому точек CG, а значит, а не была бы предельной точкой для СО. Следовательно, все предельные точки СО принадлежат CG, так что это множество замкнуто. Благодаря установленной связи между открытыми и замкнутыми множествами, достаточно рассматривать основные свойства и структуру лишь одного из этих классов. Действия над замкнутыми множествами обладают следующими свойствами: мноа) Пересечение любого множества замкнутых жеств есть множество замкнутое. б) Сумма конечного множества замкнутых множеств — замкнутое множество. Сумма счетного множества замкнутых множеств может оказаться уже не замкнутой. В этом легко убедиться, заметив, например, что множество, состоящее из одной точки, замкнуто, тогда как множество элементов последовательности , являющееся суммой счетного множества замкнутых множеств, не содержит предельной точки 0, а потому не замкнуто. Переходя к дополнениям, получаем: в) Сумма любого множества открытых множеств — открытое множество. г) Пересечение конечного множества открытых множеств — открытое множество. Отсюда, в частности, следует, что сумма конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов является открытым множеством. Справедливо также и обратное утверждение, которое исчерпывающим образом выясняет структуру открытых множеств на прямой: Всякое ограниченное открытое линейное множество Q представимо в виде суммы конечного или