* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

1.8] § 1. ЛИНЕЙНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА 27 чем счетного множества точек ( т е о р е м а К а н т о р а — Бендиксона). Смежные интервалы совершенного множества не имеют общих концов. 8. Множество Е называют плотным в себе, если и EQ^B, плотным на множестве R, если E&~^)R> всюду плотным, если R — отрезок, содержащий Е, или вся прямая. Множество Е называют нигде не плотным, если оно не плотно ни на каком отрезке. Иначе говоря, множество Е называется нигде не плотным, если на каждом отрезке [а, Ь найдется отрезок [a , Ь&](^[а, Ь], не содержащий ни одной точки Е. Дополнение к нигде не плотному множеству обязательно всюду плотно. Однако дополнение к всюду плотному множеству не только не обязано быть нигде не плотным, но даже само может оказаться всюду плотным. Так, множество всех рациональных точек отрезка [0, 1] всюду плотно одновременно со своим дополнением. Особый интерес представляет пример нигде не плотного совершенного множества, построенного впервые Г. Кантором. Это множество строится следующим образом. Разделим отреf 1 2 зок ? / = | 0 , 1] на три равные части точками у и у лим из U средний интервал ( ~ , отрезков Го, у ] и Г у , l l снова и уда- Каждый из оставшихся разделим /1 на три 2 равные /7 8 части и удалим из них средние интервалы ( у , y j и (-9-5-9-). С каждым из четырех оставшихся отрезков поступим дальше точно так же: разделим на три равные части и удалим средний интервал (рис. 3). Продолжая этот процесс неограниченно, замечаем, что из отрезка V вычитается счетное множество попарно не пересекающихся интервалов, не имеющих общих концов ни между собой, ни с основным отрезком [0, 1].