* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

297 П р е д л о ж е н и е 5. П р и н а л и ч н о с т и А р х и м е д о в о й а к с и о м ы п а р а л л е л о ­ граммы, имеющие о д и н а к о в ы я высоты, и точки D равносоставлены. суть данные параллелограммы y/ // ll№ 3 4 основашя и одинаковыя Въ самомъ дъл+>, пусть (фиг. 1 0 6 ) Р и Р& : 7, S пусть будутъ расположены на одной и гой ж е пря­ Л % % мой; проведемъ Л А^\ВН, Л Л A-± *Uv+ || АцА , v х \ А„ A v Л Л И Д Ж образомъ, АцА , е •» Лъг+А&> *+ъ || ВП. % .; 0 такимъ 2 г мы полу­ . быть чимъ на прямой А Т 0 конгруэнтные отрезки Архимеда между 2. этими Если ЛА, 7& А. А^ Согласно п> аксиоме отрезками мы теперь долженъ одинъ / / з « Д > н + 2 , который содержитъ точку 106 п = TS Положимъ сначала, что черезъ точи<у 1 ; напримеръ, на фиг А Лъп+ проведемъ прямую, параллельную ВН, то последняя встретить у ж е не о т р е з о к ъ черезъ R (7, LM, NQj 0 7 , а отрезоись въ т о ч к е , к о т о р у ю Р мы обозначимъ ТАы+гСГЛь) жирными было Аналогичию этому въ параллелограмме параллельные A T. V проведемъ отрезки В ъ такомъ случае QM\ параллелограммы же Р и / ; / оказываются равносоставленными. если мы обведены • , 7 примемъ за составляюище штрихами, и б о А А А ^СВК, 0 1 2 треугольники т е , которые A A A Q^CKLj 1 2 s ) . Можно бы думать, что намъ здесь приинлось прибегнуть къ а к с и о м е строены мил, билть можетъ, 18 своихъ могли бы этого избегнуть. Архимеда только вследствие особенности нашей фигуры, такъ что при другомъ п о ­ Однако, Гиль­ б е р т ъ въ § „Оснований" строго дои<азалъ, что это не такъ. И з ъ предложений 3 и 5 безъ труда выводится. Предложение 6. П р и наличности аксиомы Архимеда и треуголь­ одинаковыя въ ники, 4. Таись теории 1—4, имекиинДе одинаковыя основания высоты, какъ площадей, то равносоставлены. мьи не желаемъ пользоваться аксиомой Архимеда м л здесь не будемъ н которыя пользоваться предложениями Пиеагора: тре­ его на 5 и 6. И з ъ различныхъ следствий, вилтекаютъ изъ предложений мы упомянемъ инаиболее важное, а именно т е о р е м у равенъ сумме квадратовъ, К в а д р а т ъ , п о с т р о е н н ы й на г и п о т е н у з е п р я м о у г о л ь н а г о угольника, к а т е т а х ь. Для доказательства построимъ (фиг. 1 0 9 ) на гипотенузе А/3 ратъ Л/З/З^А^ А^В^Сц, и квадраты АСВ А 2 2 Л 2 построеншлхъ квад- и ВСС В Х Х на и<атетахъ. П р о в е ­ построимъ треугольникъ Если мы повернемъ точка А А/ЗВ 2 Л демъ также прямую В С и при с т о р о н е А^В^ конгруэнтный ЛВС, такимъ о б р а з о м ъ , чтобы онъ былъ распона гипотенузе. В ложеинъ вне квадрата, построеннаго четилреугольникъ А АВВ 2 1 вокруи~ь вернпины А такимъ о б р а з о м ъ . чтобы то точка уинадетъ въ точку A четырехугольникъ b t & точка А B i 2 упала вь точку С, С . 3 b1 — въ точи<у 17 Такимъ k же о б р а з о м ъ ) Въ последней части A TA^MQ, A RS^NDQ TA R^QME,