* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

252 П о д р о б н о е изложеше важииейшихъ элементарныхъ построешй двухъ неевклидовыхъ геометрий съ точки авторъ зрения проективной геометрш далъ но боль­ М, Г р о с с м а н ъ * ) ; пользуется, правда, координатами, шинство построеш&Й ясно и безъ всякихъ вычислешй. Мы не хотели бы опустить случая указать на интересное этой системы разлшпе гиперболической геометрии по сравнению съ нашимъ осуряда (о, всегда имеютъ равныхъ нцествлешемъ последней вь сферической свти * именно, две прямыя, к о ­ торыя не пересекаютъ с о внутренней стороны "съ внешней стороны ряда точку пересечешя. къ которой нельзя придти, исходя отъ внутренней точки ряда конечнымъ числомъ шаговь, между с о б о й съ точки з р е ш я проективной метрики. Итакъ, здесь и д е а л ь ­ ными точками пересечения служатъ действительныя точки, между темъ какъ въ сферическомъ тииие гиперболической геометри&и о н е были мнимилми 10. Метрика въ параболической иеометри&и несравненно проще, нежели вь гиперболической. Параболическая (Евклидова) скала на прямой и есть скала проективная, соответствующая такому (воображаемому) выбору недоступной точки [ эмпирическаго прямой //, которое устанавливается средствами чисто Именно, мы утверждаемъ проективное съ 1 характера. прежде t всего сле9 дуюицее: если на п р я м о й и даны д в Ь парил т о ч е к ь и а ней в с е г д а м о ж н о у с т а н о в и т ь такь, что о т р е з к и равнил. В& и А Л / ? и А&В деле, будутъ парил А, В ъ самомъ точки зрения - i , В и Л В& то мероопределений этой метрики, распоря­ прежде всего м л можемъ и диться обозначешями двухъ точекъ А и В& такимь о б р а з о м ь , чтобил две и&армонически двухъ точекь Для нтороио В& изъ суть В другъ друга не разделяли; пусть далее А/ и б у ­ В. А& каждая изь этихъ дутъ две точки, коториля, въ этомъ предположен^ делятъ какъ пару у/. /_•?&. такь и пару можетъ порядка билть принята точекь SI ?. за построешя и Л основную безконечно удаленчую точку рядомъ . V, В необходимо располаиать плоскости, находяицимся у въ какой-либо проходящей черезь т прямую //- Пусть а, а& какой-либо точки S [i, ft будутъ проекш&и точекь А, ряда f на этотъ самилй рядъ; тогла А/ и Y точки пересечешя прямой // съ ирямилми Sfi и Si&, пару а, /э&, такъ и пару и прямыхъ самомъ аа& деле, и fip& соединяюиишми точку .V съ теми двумя точками /< и /& ряда ?, коториля делять гармонически какъ и [i (фиг. 8 5 ) . Самиля точки // и i& лежатъ въ соединяющей точилу пересечешя X прнмилхь ар въ точке у; и а&У эта А Въ точка пересеченш ряда * с ь прямой XZ* съ точкой ииересечешя на согласно предложешю 6 § 17-го, касательныя къ ряду въ прямой XZ точкахъ а& и /3 пересекаются ифедставляетъ с о б о й полюсъ прямой а&/? и потому вместе съ точкой пе- I М G r o s s m a n n . „Die fundamentalen Konstruktionen der Nichtenklidisclien Geonietrie", Beilage zinn Progratntn der Thurganischen Kantonsselinle, 1903/04.