* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

205 Внутри класса [Р, Р&] не лежитъ ни одна изъ точекъ X, У. Z. Проективное соответствие рядовъ и и г/ относить, согласно предложений 8, точкамъ пекотораго класса ряда а точки класса ряда и&, вь частности, точкамъ класса [Х> У], не содержащего точки Z, —точки класса [Х У], не содержащаго точки 7J. Но такъ какъ точки X, У, Z& совпадаютъ съ точками Л, ) , Z, ^ ^ j ? j ^ f то это означаетъ, что каждой * V& и& ^& & точке класса [Л", У] соответству. . етъ точка того же класса Х, У]. Каждой точке класса [Р Y] отвечаетъ точка класса [Р У]. При помощи этого сопряжения м произведемъ, какъ въ п 7, Дедекиндово сечение ы UjUz класса [Р, У|; именно, мы отнесемъ къ категорш U каждую точку Q класса [Р, У], которая, вместе со всеми предиииествующими ей точками класса [Р, У], предшествуетъ соответствующей ей точке Q всъ остальныя точки мы отнесемъ къ категорш U . Категории Jj принадлежать все точки класса [Р, Р&], включая и точку Р. но, быть можетъ. не включая точки Р&; категорш ?7 > во всякомъ случае, принадлежитъ точка У. Такь какъ все услоиия сечения здесь вплполнены, то, въ силу аксюмы III, существуетъ вь классе [Pj Y] точка ГУ. которая иироизводитъ это сечение, такъ что катего­ рия Ui сводится къ классу [Р, U, а категория Г7 — классу [ГУ, У]. Но точка [/&, соответствующая точке Г/, не можетъ лежать ни въ классе [Р, U] ни въ классе [ГУ, У]. Если бы она лежала въ классе [Р, [У], го точка V должна была бы ей предиииестиювать, что составляетъ протииюречие; если бы она лежала въ классе [U, У], то, въ силу ииредложени&я 8, каждой точке класса [ГУ, У] отвечала бы точка класса [Г У], а по­ тому каждая точка класса [ГУ, ГУ&] предипествовала бы соответствуюиидей ей точке и, следовательно, принадлежала бы категории [ ] иначе говоря, классу [Р, U] м вновь получаемъ противоречие ) . Следовательно, ы точка U& совпадаетъ съ точкой ГУ, т. е. ГУ. какь и точки А, У. Z. есть v z фиг 59 x r 2 x 2 к ъ 2 t7 32 оказалось, что точка Р& принадлежитъ классу РХ], то мы обозначени&я X и V при соответствуюицихъ трехъ классахъ транспонируемъ: тогда точка Р& будетъ принадлежать классу (РГ) и однозначно разделить его на классы [РР&] и |Р& У]. Въ сми,1сле обозначений, иринятыхъ въ § 15. 7, [X, Г] = |А, Г]--1Р,Р>] + 1» Y] ) Авторъ разбираетъ два случая: когда точка (7 соответствуюицая точке L", падастъ внутрь класса [P,U] и когда она падастъ внутрь класса [U, У]. Второй случай разобранъ вполне ииравильно, но несколько словъ, которыми авторъ огра­ ничивается относительно перваго случая, содержать погрешность. „Если бы точка V принадлежала классу [Р, U ] * , говорить авторъ, „то точка U должна была б > ей предипсствовать" Точка U должна была бы предшествовать точке ?/&, если бы и1 она сама, т. е. точка U, принадлежала категорий I / , (т е. классу [Р, U]); изъ того же, что точка U& принадлежитъ классу [Р, U], такого вилвода сделать нельзя. Первый случай необходимо разобрать такъ же, какъ и второй. Допустимъ, что точка U* инадаеть внутрь класса [Р, U]; тогда она принадлежитъ необходимо м