* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

198 Следовательно, две группы одинаковое расположение T AU UB 0 и BU UA 0 должны были бы иметь А, В не U разделяла бы (предл. 2-ое § 1 5 ) . Если бы точки и, следовательно, либо пара A, 0 0 разделяли точекъ U пара В, U U 0 пару U, В, либо пара A, U разделяла бы пару ? / , В, то въ первомъ случае 0 должна была бы разделять пару U, А, А у 0 во второмъ случае пара В. U—пару 4 [У ; но то и другое находится ,въ противоречии съ аксюмой Н , согласно которой точке U отвечаетъ только одна изъ трехъ точекъ с7 , 0 А, В У которая вместе съ ней разделяетъ две друпя точки. Н о такъ какъ изъ двухъ точекъ, которыя гармонически делятъ пару А, В, одна необходимо 2 Ъ должна принадлежать классу [А 9 В], то отсюда следуетъ ): двумъ одна И1арамъ т о ч е к ъ друга, точекь пара I, г Предложений 7-ое: только А, / , В и А/, V. не раз­ и дел я ю щ и м ъ другъ всегда отвечаетъ которая одна разделяетъ V7, требо­ г а р м о н и ч е с к и к а к ъ п а р у Ау В, такъ и пару Это доказательство существований, являющееся следствиемъ ния точекъ U и У напротивъ, для этого необходимо еще себе представить только при посредстве ваний, выраженнаго аксиомой I I I , само по с е б е не даетъ точнаго построе­ присоединить повтореиии&я кривую в т о р о ю порядка,—образъ, самое воспроизведете котораго можно безпредельнаго некотораго построения. 9. Аксиомы I , I I , I I I образуютъ основу проективной геометри"и. Уже здесь мы можемъ. такъ сказать, удвоить продуктивность труда, затрачиваемаго и а построение и что этой геометрии; для этого достаточно заметить, и з ъ акси"омъ I , I I , I I I и и х ъ следствий в ы т е к а ю т ъ п р а в и л ь н ы я Напримеръ: п р е д л о ж е н ! я , е с л и мы б у д е м ъ з а м е н я т ь с л о в а „ т о ч к а " , „ п л о с к о с т ь " с л о в а м и „ п л о с к о с т ь " , „точка*" соотношений (о) и (0>, въ силу предложения 1 § 16-го, вытекаетъ, что точки у , В делятъ пару у, N; т. е. точка у принадлежитъ классу ( у , В) н п х или [у , Б|. Итакъ, если точка х принадлежитъ классу [А, х , то точка у принадлежитъклассу [т , В. Какъ выяснено было въ § 15, п.п. 7 и 8, точка д* дълитъ классъ [А. В на п классы [A, x j и [х , В. Если точка х предшествуетъ точке у , то [A, v j < И , у ] ; и н п н весь классъ [у , В] принадлежитъ классу [ А , В] въ томъ числе и точка v; точка у и Н делитъ классъ [х , В на х у] и |у, В такъ что А, x j < А, у. Такъ какъ п п I - & . V] <А, w *„], то А, х]<А ш у]. 0 ) Въ предыдущемъ абзаце было обнаружено, что точка U не можетъ ле­ жать вместе съ U въ классе А, В]; но если бы сущестиювала другая пара точекъ, которая делила бы гармонически какъ пару А, В, такъ и пару М, N], то одна изъ этихъ точекъ лежала бы необходимо внутри класса А, В. Если бы мы ее при­ няли за точку U то мы пришли бы такимъ образомъ къ противоречию. or