* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

142 b ) Изъ к о л л и н е а щ й для насъ имъютъ значенное только те, кото­ рыя преобразовываютъ всъ безконечно удаленный точки также въ безко­ нечно удаленныя точки, т. е. которыя преобразовываютъ безконечно уда­ ленную плоскость въ себя самое. Такого рода преобразования аффинными ( с р . § И ) . Если (х, у, ) и ( § , называются ?) суть соответствующий точки аффинной коллинеацш въ координиатахъ § 12-го, то всегда имъютъ место соотношения вида: у = + ^С + ^2» съ постоянньими коэффициентами; вмъстъ съ тъмъ имъютъ мъсто три та­ кихъ же уравнения съ постоянииыми коэффициентами, которьия выражаютъ координаты ?, /у, ? черезъ ванпя, какъ здесь, чисто у, ^. Обосновьиваемъ ли мьи эти преобра1 1 , чисто геоме­ пре­ убедиться, что эта коллиииеация аналитически или, какъ въ § трически, во всякомъ случай легко образовываешь каждую точку б е з ъ и с к л ю ч е н и я въ точку ж е , каждую пря­ м у ю — в ъ прямую, каждую плоскость—вь плоскость же. Изъ этой полной однозначности, будемъ не имеющей никакого исключения, а также изъ возмож­ конгруэнтныхъ фигурь также конгруэнт­ ности однозначнаго же обращении этихъ соотноипений следуешь: если мы называть изображения ными, а также сообщимъ этимъ изображениями» все остальньия соотношения, связьиваиоищя оригинальи, то въ этомъ отображении Евклидова пространства все аксиомы Евклидовой геометрии будутъ иметь место. И т а к ъ , с у щ е с т в у е т ъ безчислеиииное м н о ж е с т в о совериниеииншхъ осуществлений ками, этомъ прямыми Е в к л и д о в о й геометрий съ и плоскостями, хотя конгруэнтными, отнюдь о бы кновенньими не конгруэнтны точ­ въ фигуры, к о т о р ы я мы п р и ииазываемъ о б ь и ч н о м ъ ( Е в к л и д о в о м ъ ) с м ы с л е э т о г о с л о в а . Между темъ ни одна изъ этихъ системъ не можетъ быть выделена въ качестве „действительно" Евклидовой геометрии соотнонпенпя17 Итакъ, на вопросъ, которьий мы поставили въ п какъ аксиома о 16, приходится при помощи аксиомъ, устанавливающихь только ответить отрицательно. Если даже устранить лииии&и при помощи аксюмъ, которыя, известиьия особыя точки и параллельииыхъ ли­ шяхъ и о полноте системы, никогда и е могутъ служить критериями приме­ и нимости абстрактной геометрии къ образамъ нанпего чувственнаго воспри&яти&я, то существуетъ еще безконечное осуществления точками, аксиомъ и прямьими множество (приближенныхъ) снюсобовъ геометрии съ „действительными" 11о вина этой многозначности, какъ Евклидовой плоскостями.