* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

74 4 , Мы имъемъ. такимъ о б р а з о м ъ , двъ геометрш; въ каждой изъ нихъ черезъ двъ точки всегда проходить одна и только одна прямая, черезь всегда проходить одна три точки, опредьлнюппн три различный прямыя, и только одна плоскость; в о о б щ е , всъ предложешя Евклидовой геометрш, который относятся кь пересеченно прямыхъ и плоскостей, справедливы вь объихъ этихъ геометр1яхъ, за исключешемъ только аксюмы о доказать назвать, параллель­ парал­ ности. Э т о приводить, такимъ о б р а з о м ъ , кь безупречному и совершенно наглядному доказательству того, что попытки лельности или, какъ было бы правильнее ее аксюму о пятый постулат ь Евклида, попытки вывести это п р е д л о ж е т е изъ остальныхъ посылокъ, не прекрашавиияся въ течете двухь тысячелетш, Акаома о следств1я изь необходимо должны были не представляетъ пологеометрш. необ­ основныхь потерпеть Kpyiuenie. собой логическаго въ к о т о р ы х ъ ходимо статочно лучили параллельности остальныхъ ж е ш й г е о м е т р ш . Мы можемъ даже сказать. Е с л и б ы две акс1ома о параллельности не и м е е т ъ м е с т а , когда- либо привели кь п р о т и в о р е ч ! я м ъ , то и Е в к л и д о в а геометр1я содержала перевести бы здесь бы п р о т и в о р е ч а ; эти противорьч1н Что въ самомъ деле, было бы д о ­ неевклидовой геометрш на нзыкь же касается того, что Евклидова противоречия, иде­ обыкновенной геометрш с ф е р ъ въ Евклидовомь пространстве, и мы п о ­ не содержания никакого противоре>Ч1я. иметь геометр1я опирается на посылки, то это мы будемъ возможность обнаружить вь одиомъ изь сле~ только кь дующихъ параграфовъ. О д н а к о , это относится, конечно, альной геометрической системе. И з ь независимости аксюмы о параллельности, с ь одной стороны, и изъ не­ допустимости поняпя о параллельности въ натуральной геометрш, с ь другой стороны, следует!), что средствами натуральной геометрж в о п р о с ъ о трехъ возможныхъ допущешяхъ въ теорш параллельности никогда не можетъ быть рЬшенъ въ пользу какого-либо одного изъ нихъ Фактически и Паидь вь своихъ „лекшнхъ", о которыхъ мы неоднократно упоминали, вынуждепъ был!) оставить эготъ в о п р о с ъ открытымъ; въ небольшой области, въ пре­ делахъ к о т о р о й остаются плоскости и прнмыя, доступный нашему наблю­ дение, можно очень хорошо описать все факты натуральной геометрш две параллели больше* ли даже сказать независимо отъ того, проходятъ ли черезь данную точку кь данной прямой, эмпирически одна не или ни одной. будетъ Можно никогда возможно решить, представляетъ с о б о й т о , что мы называем!) прямыми и плоскостями, прнмыя и плоскости радикальнымъ „действительный* сферической Д1аметраль- или псевдо-прямыя и псевдо-плоскости или соответственно сети с ь чрезвычайно большой степенью. Если бы, напримеръ, солнце было центромъ, а ортогональная ная с ф е р а была бы столь велика, что в с е планеты были бы расположены внутри ея, то псевдо-плоскости и псевдо-прямыя, т. е. с ф е р ы и окружности